Esercizio esame di istituzioni di calcolo delle probabilità (1)
Tra qualche giorno sosterrò l'esame di istituzioni di calcolo delle probabilità e mi sono messo a fare gli esercizi dell'ultimo compito. Volevo quindi confrontarmi con qualcuno prima dell'esame. Anche se a dire il vero non ho visto, in questa sezione, molte discussioni su corsi magistrali. Questo comunque non ha nulla di magistrale come argomento (dal punto di vista teorico ci sono differenze, ma non da quello pratico).
Il primo esercizio è il seguente, il secondo lo metterò probabilmente in un'altra discussione:
Esercizio. Siano \(a,b\ge 0\) e siano \(X\) e \(Y\) v.a a valori in \mathbb{N} e \mathbb{R}^+ rispettivamente, con legge
\[ P(X=n,Y\le t) = b\int_{0}^{t} \frac{(ay)^n}{n!}e^{-(a+b)y}\,dy,\qquad n\in \mathbb{N}, t\in \mathbb{R}^+ \,.\]
Sia \(h\colon \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+\) misurabile, calcolare le seguenti quantità:
[list=a][*:21xokdr5]\(\mathbb{E}[h(Y)|X=n]\)[/*:m:21xokdr5]
[*:21xokdr5]\(\mathbb{E}\Bigl[\frac{Y}{X+1}\Bigr]\)[/*:m:21xokdr5]
[*:21xokdr5]\(\mathbb{E}[\mathbf{1}_{(X=n)}|Y]\)[/*:m:21xokdr5]
[*:21xokdr5]\(\mathbb{E}[X|Y]\)[/*:m:21xokdr5][/list:o:21xokdr5]
[Hint: Può essere utile ricordare che una v.a \(\mathrm{Gamma}(\lambda,r)\) ha densità \(f(x) = \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(x)\) . ]
Risoluzione: Osservo prima di tutto che \(n! = \Gamma(n+1)\).
Per il punto (a) mi calcolo \(\displaystyle f_{X}(n) = ba^{n}\int_0^{\infty}\frac{1}{\Gamma(n+1)}y^n e^{-(a+b)y}\,dy = \frac{a^n b}{(a+b)^{n+1}} \int_0^{\infty}\frac{(a+b)^{n+1}}{\Gamma(n+1)}y^n e^{-(a+b)y}\,dy = \frac{a^n b}{(a+b)^{n+1}}\). Dove ho ovviamente usato l'hint.
Quindi mi calcolo \(\displaystyle f_{X=n}(y) = \frac{f(n,y)}{f_X(n)} = \frac{b\frac{(ay)^n}{n!}e^{-(a+b)y}}{\frac{a^n b}{(a+b)^{n+1}}} = \mathrm{Gamma}(a+b,n+1) \).
Il risultato risulta quindi essere \(\displaystyle \mathbb{E}[h(Y)|X=n] = \int_{0}^{\infty} h(t)\mathrm{Gamma}(a+b,n+1)\,dt \). Concordate? Potrebbero esserci delle semplificazioni ma non sono molto pratico con queste distribuzioni.
Mi calcolo quindi (d). Similmente al caso (a) mi calcolo \(\displaystyle f_{Y}(t) = be^{-(a+b)t} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(at)^i}{i!} = be^{-(a+b)t}e^{at} = be^{-bt}\).
Quindi è il momento di \(\displaystyle f_{Y=t}(x) = \frac{f(x,t)}{f_Y(t)} = \frac{b\frac{(at)^x}{x!}e^{-(a+b)t}}{be^{-bt}} = \frac{(at)^{x}}{x!} e^{-at} \).
Pertanto \(\displaystyle\mathbb{E}[X|Y] = e^{-at}\sum_{i=0}^{\infty} i\frac{(at)^{i}}{i!} = ate^{-at}e^{at} = ate^0 = at \). Concordate?
Il calcolo di (c) discende da quello di (d) e diventa \(\displaystyle\mathbb{E}[X|Y] = e^{-at}\sum_{i=0}^{\infty} \mathbf{1}_{X=n}(i)\frac{(at)^{i}}{i!} = e^{-at}\frac{(at)^n}{n!} \). Concordate?
Per quanto riguarda il (b) non sono sicurissimo sul da farsi. Penso di dover usare il fatto che \(\displaystyle \frac{Y}{X+1}\le t \) se e solo se \(\displaystyle Y \le tX+t \). Ma non riesco a concludere
. Qualche suggerimento? Sicuramente sarà stupido ma non avendo fatto calcolo probabilità in triennale questo tipo di calcoli non li ho mai visti sul serio.
Il primo esercizio è il seguente, il secondo lo metterò probabilmente in un'altra discussione:
Esercizio. Siano \(a,b\ge 0\) e siano \(X\) e \(Y\) v.a a valori in \mathbb{N} e \mathbb{R}^+ rispettivamente, con legge
\[ P(X=n,Y\le t) = b\int_{0}^{t} \frac{(ay)^n}{n!}e^{-(a+b)y}\,dy,\qquad n\in \mathbb{N}, t\in \mathbb{R}^+ \,.\]
Sia \(h\colon \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+\) misurabile, calcolare le seguenti quantità:
[list=a][*:21xokdr5]\(\mathbb{E}[h(Y)|X=n]\)[/*:m:21xokdr5]
[*:21xokdr5]\(\mathbb{E}\Bigl[\frac{Y}{X+1}\Bigr]\)[/*:m:21xokdr5]
[*:21xokdr5]\(\mathbb{E}[\mathbf{1}_{(X=n)}|Y]\)[/*:m:21xokdr5]
[*:21xokdr5]\(\mathbb{E}[X|Y]\)[/*:m:21xokdr5][/list:o:21xokdr5]
[Hint: Può essere utile ricordare che una v.a \(\mathrm{Gamma}(\lambda,r)\) ha densità \(f(x) = \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(x)\) . ]
Risoluzione: Osservo prima di tutto che \(n! = \Gamma(n+1)\).
Per il punto (a) mi calcolo \(\displaystyle f_{X}(n) = ba^{n}\int_0^{\infty}\frac{1}{\Gamma(n+1)}y^n e^{-(a+b)y}\,dy = \frac{a^n b}{(a+b)^{n+1}} \int_0^{\infty}\frac{(a+b)^{n+1}}{\Gamma(n+1)}y^n e^{-(a+b)y}\,dy = \frac{a^n b}{(a+b)^{n+1}}\). Dove ho ovviamente usato l'hint.
Quindi mi calcolo \(\displaystyle f_{X=n}(y) = \frac{f(n,y)}{f_X(n)} = \frac{b\frac{(ay)^n}{n!}e^{-(a+b)y}}{\frac{a^n b}{(a+b)^{n+1}}} = \mathrm{Gamma}(a+b,n+1) \).
Il risultato risulta quindi essere \(\displaystyle \mathbb{E}[h(Y)|X=n] = \int_{0}^{\infty} h(t)\mathrm{Gamma}(a+b,n+1)\,dt \). Concordate? Potrebbero esserci delle semplificazioni ma non sono molto pratico con queste distribuzioni.
Mi calcolo quindi (d). Similmente al caso (a) mi calcolo \(\displaystyle f_{Y}(t) = be^{-(a+b)t} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(at)^i}{i!} = be^{-(a+b)t}e^{at} = be^{-bt}\).
Quindi è il momento di \(\displaystyle f_{Y=t}(x) = \frac{f(x,t)}{f_Y(t)} = \frac{b\frac{(at)^x}{x!}e^{-(a+b)t}}{be^{-bt}} = \frac{(at)^{x}}{x!} e^{-at} \).
Pertanto \(\displaystyle\mathbb{E}[X|Y] = e^{-at}\sum_{i=0}^{\infty} i\frac{(at)^{i}}{i!} = ate^{-at}e^{at} = ate^0 = at \). Concordate?
Il calcolo di (c) discende da quello di (d) e diventa \(\displaystyle\mathbb{E}[X|Y] = e^{-at}\sum_{i=0}^{\infty} \mathbf{1}_{X=n}(i)\frac{(at)^{i}}{i!} = e^{-at}\frac{(at)^n}{n!} \). Concordate?
Per quanto riguarda il (b) non sono sicurissimo sul da farsi. Penso di dover usare il fatto che \(\displaystyle \frac{Y}{X+1}\le t \) se e solo se \(\displaystyle Y \le tX+t \). Ma non riesco a concludere
. Qualche suggerimento? Sicuramente sarà stupido ma non avendo fatto calcolo probabilità in triennale questo tipo di calcoli non li ho mai visti sul serio.
Risposte
Forse sono giunto ad una soluzione anche per l'ultimo pezzo. Per comodità cambio la notazione in \(\displaystyle \mathbb{E}_X Y = \mathbb{E}[Y|X] \): la trovo più congeniale quando faccio condizionamenti consecutivi.
Ho che \(\displaystyle V = \frac{1}{X+1} \in \sigma X \), pertanto \(\displaystyle \mathbb{E} \frac{Y}{X+1} = \mathbb{E}\mathbb{E}_X VY = \mathbb{E}V\mathbb{E}_X Y = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}\int_{0}^{\infty} t\,\mathrm{Gamma}(a+b,n+1)\,dt = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} \frac{n+1}{a+b} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{a+b} = +\infty\)
Vi sembra corretto? Il \(\displaystyle +\infty \) mi sembra sensato, ma non sono per niente sicuro sul calcolo.
Ho che \(\displaystyle V = \frac{1}{X+1} \in \sigma X \), pertanto \(\displaystyle \mathbb{E} \frac{Y}{X+1} = \mathbb{E}\mathbb{E}_X VY = \mathbb{E}V\mathbb{E}_X Y = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}\int_{0}^{\infty} t\,\mathrm{Gamma}(a+b,n+1)\,dt = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} \frac{n+1}{a+b} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{a+b} = +\infty\)
Vi sembra corretto? Il \(\displaystyle +\infty \) mi sembra sensato, ma non sono per niente sicuro sul calcolo.
Alcune cose che scrivi sono giuste ed altre sbagliate.
Dai calcoli che hai fatto vedi che:
X è una geometrica
Y è una esponenziale
X dato Y è una Poisson
Y dato X è una gamma.
Quindi a è corretto.
il terzo passaggio non si capisce che fai. Prova proseguire da la tenendo a mente che $E[Y|X]=(X+1)/(a+b)$.
Per il c ed il d i calcoli sono giusti ma manchi il punto che quei valori attesi condizionati sono v.a. Quali sono queste due variabili aleatorie?
Dai calcoli che hai fatto vedi che:
X è una geometrica
Y è una esponenziale
X dato Y è una Poisson
Y dato X è una gamma.
Quindi a è corretto.
"vict85":
Ho che \(\displaystyle V = \frac{1}{X+1} \in \sigma X \), pertanto \(\displaystyle \mathbb{E} \frac{Y}{X+1} = \mathbb{E}\mathbb{E}_X VY = \mathbb{E}V\mathbb{E}_X Y = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}\int_{0}^{\infty} t\,\mathrm{Gamma}(a+b,n+1)\,dt = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} \frac{n+1}{a+b} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{a+b} = +\infty\)
Vi sembra corretto? Il \(\displaystyle +\infty \) mi sembra sensato, ma non sono per niente sicuro sul calcolo.
il terzo passaggio non si capisce che fai. Prova proseguire da la tenendo a mente che $E[Y|X]=(X+1)/(a+b)$.
Per il c ed il d i calcoli sono giusti ma manchi il punto che quei valori attesi condizionati sono v.a. Quali sono queste due variabili aleatorie?
Hai ragione, i miei calcoli in (b) perdono senso da quel punto in poi. Rifaccio il calcolo
\begin{align} \mathbb{E} \frac{Y}{X+1} &= \mathbb{E}\mathbb{E}_X VY \\
&= \mathbb{E}V\mathbb{E}_X Y \\
&= \mathbb{E}\frac{1}{X+1}\frac{X+1}{a+b} \\
&= \mathbb{E}\frac{1}{a+b} \\
&= \frac{1}{a+b}
\end{align}
Riguardo a (c) e (d) ho che: \(\displaystyle \mathbb{E}_{Y} \mathbf{1}_{(X=n)} = \frac{(aY)^{n}}{n!} e^{-aY}\) e \(\displaystyle \mathbb{E}_{Y} X = aY \).
\begin{align} \mathbb{E} \frac{Y}{X+1} &= \mathbb{E}\mathbb{E}_X VY \\
&= \mathbb{E}V\mathbb{E}_X Y \\
&= \mathbb{E}\frac{1}{X+1}\frac{X+1}{a+b} \\
&= \mathbb{E}\frac{1}{a+b} \\
&= \frac{1}{a+b}
\end{align}
Riguardo a (c) e (d) ho che: \(\displaystyle \mathbb{E}_{Y} \mathbf{1}_{(X=n)} = \frac{(aY)^{n}}{n!} e^{-aY}\) e \(\displaystyle \mathbb{E}_{Y} X = aY \).
Mi sembra tutto OK ora.
Ciao
Ciao
Bene. Grazie di tutto.
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