[Esercizio] Dubbio sull'indipendenza statistica
Salve, sono alle prese col seguente esercizio di teoria della probabilità:
Luca partecipa ad un torneo di scacchi dove giocherà 4 partite. Ad ogni partita si estrae a sorte con una moneta truccata (la probabilità che venga testa è 1/3 ) chi gioca coi pezzi bianchi e chi coi neri: se esce testa Luca gioca coi pezzi bianchi, se esce croce gioca coi neri.
Luca sa che se gioca coi bianchi ha il 20% di probabilità di perdere e il 50% di pattare, mentre coi neri ha il 50% di probabilità di perdere e il 40% di pattare.
Egli vince le prime due partite del torneo. Qual è la probabilità che le abbia giocate entrambe coi neri?
Io sarei tentato dal rispondere che tale probabilità sia indipendente dal fatto di aver vinto le due partite. Il colore viene assegnato in base al lancio di una moneta di volta in volta e l'esito di un lancio non può dipendere da come finirà la partita.
Se il mio ragionamento fosse giusto, dovrei avere P(Nero|Vittoria) = P(Nero), giusto? Ora, se provo a fare questo calcolo, non ottengo il risultato sperato.
Dai dati del problema ho:
P(Vittoria|Bianco) = 0.3
P(Vittoria|Nero) = 0.1
P(Bianco) = 1/3
P(Nero) = 2/3
Quindi, applicando la legge di Bayes e la legge della probabilità totale, ottengo:
[tex] P(N|V) = \frac{P(N) P(V|N)}{P(V)} = \frac{P(N) P(V|N)}{P(V|B)P(B) + P(V|N)P(N)} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 0.1}{ 0.3 \cdot \frac{1}{3} + 0.1 \cdot \frac{2}{3} } \neq P(N) = \frac{2}{3}[/tex]
Potreste aiutarmi a capire dove sbaglio?
Grazie anticipatamente.
Luca partecipa ad un torneo di scacchi dove giocherà 4 partite. Ad ogni partita si estrae a sorte con una moneta truccata (la probabilità che venga testa è 1/3 ) chi gioca coi pezzi bianchi e chi coi neri: se esce testa Luca gioca coi pezzi bianchi, se esce croce gioca coi neri.
Luca sa che se gioca coi bianchi ha il 20% di probabilità di perdere e il 50% di pattare, mentre coi neri ha il 50% di probabilità di perdere e il 40% di pattare.
Egli vince le prime due partite del torneo. Qual è la probabilità che le abbia giocate entrambe coi neri?
Io sarei tentato dal rispondere che tale probabilità sia indipendente dal fatto di aver vinto le due partite. Il colore viene assegnato in base al lancio di una moneta di volta in volta e l'esito di un lancio non può dipendere da come finirà la partita.
Se il mio ragionamento fosse giusto, dovrei avere P(Nero|Vittoria) = P(Nero), giusto? Ora, se provo a fare questo calcolo, non ottengo il risultato sperato.
Dai dati del problema ho:
P(Vittoria|Bianco) = 0.3
P(Vittoria|Nero) = 0.1
P(Bianco) = 1/3
P(Nero) = 2/3
Quindi, applicando la legge di Bayes e la legge della probabilità totale, ottengo:
[tex] P(N|V) = \frac{P(N) P(V|N)}{P(V)} = \frac{P(N) P(V|N)}{P(V|B)P(B) + P(V|N)P(N)} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 0.1}{ 0.3 \cdot \frac{1}{3} + 0.1 \cdot \frac{2}{3} } \neq P(N) = \frac{2}{3}[/tex]
Potreste aiutarmi a capire dove sbaglio?
Grazie anticipatamente.
Risposte
innanzitutto hai sbagliato a trasformare le percentuali in numeri...
comunque hai ragione dicendo che l'esito di un lancio non è influenzato dal risultato della partita (perchè prima si lancia e poi si gioca), ma il contrario invece si: il lancio della moneta influenza la partita quindi gli eventi NON possono essere indipendenti
il teorema di Bayes è fatto apposta per i casi come questo è il risultato corretto è $4/10=40%$
comunque hai ragione dicendo che l'esito di un lancio non è influenzato dal risultato della partita (perchè prima si lancia e poi si gioca), ma il contrario invece si: il lancio della moneta influenza la partita quindi gli eventi NON possono essere indipendenti
il teorema di Bayes è fatto apposta per i casi come questo è il risultato corretto è $4/10=40%$
Ho corretto le percentuali ma non capisco come hai ottenuto 1/10. Il risultato del calcolo per me è 4/10.
Comunque, se ho ben capito: non posso dire P(N|V)=P(N) se non risulta anche P(V|N)=P(V) ?
Comunque, se ho ben capito: non posso dire P(N|V)=P(N) se non risulta anche P(V|N)=P(V) ?
ok avevo sbagliato a calcolare, comunque ora ci siamo: l'indipendenza è simmetrica quindi se $A$ è indipendente da $B$ anche $B$ è indipendente da $A$, altrimenti non sono indipendenti
perfetto, grazie
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