Esercizio distribuzione di Poisson
Buongiorno a tutti,
scrivo il testo di un esercizio di statistica su una poissoiniana di cui non riesco a venire a capo. Ecco il testo:
Per portare a termine una lavorazione di un pezzo è necessario utilizzare due macchine M1 e M2 in successione. La macchina Mi guasta mediamente Li volte in un anno e in presenza del guasto di una delle macchine la lavorazione si arresta.
1- Calcolare la probabilità che la lavorazione dei pezzi non si interrompa per almeno un tempo P0.
2- Tempo medio della prima interruzione
3- Supponendo che l2 sia minore di l1 e che si decida di affiancare a M2 una macchina N2 con le stesse caratteristiche, da far intervenire in caso di guasto. Calcolare la probabilità che la lavorazione dei pezzi non si interrompa per almeno tu tempo P0
scrivo il testo di un esercizio di statistica su una poissoiniana di cui non riesco a venire a capo. Ecco il testo:
Per portare a termine una lavorazione di un pezzo è necessario utilizzare due macchine M1 e M2 in successione. La macchina Mi guasta mediamente Li volte in un anno e in presenza del guasto di una delle macchine la lavorazione si arresta.
1- Calcolare la probabilità che la lavorazione dei pezzi non si interrompa per almeno un tempo P0.
2- Tempo medio della prima interruzione
3- Supponendo che l2 sia minore di l1 e che si decida di affiancare a M2 una macchina N2 con le stesse caratteristiche, da far intervenire in caso di guasto. Calcolare la probabilità che la lavorazione dei pezzi non si interrompa per almeno tu tempo P0
Risposte
L'esercizio in questione è [strike]piuttosto standard[/strike] interessante [strike]e non[/strike] però è possibile che tu non riesca a fare nulla.....posta ciò che hai fatto e vediamo di proseguire....
Messaggio modificato e testo corretto.
1- Applico banalmente Poisson con $Mi$ e li $P(a=P0) = ...$
2- Quella media sarà data dalla media di $( 1 - P(a=P0) )$
3- Le probabilità saranno vincolate tra loro, quindi il fatto che N2 entri in azione sarà legato al guasto di M2 (Bayes?), ma non ho altre idee in merito.
1- Applico banalmente Poisson con $Mi$ e li $P(a=P0) = ...$
2- Quella media sarà data dalla media di $( 1 - P(a=P0) )$
3- Le probabilità saranno vincolate tra loro, quindi il fatto che N2 entri in azione sarà legato al guasto di M2 (Bayes?), ma non ho altre idee in merito.
1. non avendo inserico formule non ho capito come intendi risolverlo ma, dato che dici che è banale, pur dubitando della corretta soluzione, lo do per scontato.
2. non è così banale.
Se le due macchine hanno una distribuzione di poisson $Po(L_(i))$ espressa in guasti/anno il tempo medio di durata senza guasto è un interarrivo di poisson -> si distribuisce come un'esponenziale negativa.
Ad esempio supponiamo che la distribuzione di poisson delle due macchine sia questa $Po(12)$, identica per le due macchine e le due macchine siano indipendenti; ciò significa che abbiamo le due macchine che presentano "mediamente" 12 guasti all'anno (un guasto al mese)....come si distribuisce il tempo di funzionamento di ogni macchina? Ovviamente è un'esponenziale negativa di media $1/12$ di anno (un mese).
In pratica così: $f(x)=12e^(-12x)$ se il tempo è espresso in anni oppure così $f(x)=e^(-x)$ se il tempo è espresso in mesi.
Il tuo esercizio è generico perché indica $L_(i)$ (tra l'altro diverso fra una macchina e l'altra) ma il concetto non cambia.
Ora dato che abbiamo DUE macchine e il testo ci chiede il tempo medio del PRIMO guasto è come se ci chiedesse il tempo medio della variabile $min(X,Y)$ . Quindi prima devi calcolare la distribuzione del minimo (che dovresti saper fare, con l'ipotesi di indipendenza) e poi calcolarne la media....
PS: l'ipotesi di indipendenza delle due macchine è necessaria, anche se non specificata dal testo.
Se la spiegazione ti è chiara attendo sviluppi, altrimenti fammi sapere.
3. più articolato ma sullo stesso genere... per il momento concentriamoci sul 2.
2. non è così banale.
Se le due macchine hanno una distribuzione di poisson $Po(L_(i))$ espressa in guasti/anno il tempo medio di durata senza guasto è un interarrivo di poisson -> si distribuisce come un'esponenziale negativa.
Ad esempio supponiamo che la distribuzione di poisson delle due macchine sia questa $Po(12)$, identica per le due macchine e le due macchine siano indipendenti; ciò significa che abbiamo le due macchine che presentano "mediamente" 12 guasti all'anno (un guasto al mese)....come si distribuisce il tempo di funzionamento di ogni macchina? Ovviamente è un'esponenziale negativa di media $1/12$ di anno (un mese).
In pratica così: $f(x)=12e^(-12x)$ se il tempo è espresso in anni oppure così $f(x)=e^(-x)$ se il tempo è espresso in mesi.
Il tuo esercizio è generico perché indica $L_(i)$ (tra l'altro diverso fra una macchina e l'altra) ma il concetto non cambia.
Ora dato che abbiamo DUE macchine e il testo ci chiede il tempo medio del PRIMO guasto è come se ci chiedesse il tempo medio della variabile $min(X,Y)$ . Quindi prima devi calcolare la distribuzione del minimo (che dovresti saper fare, con l'ipotesi di indipendenza) e poi calcolarne la media....
PS: l'ipotesi di indipendenza delle due macchine è necessaria, anche se non specificata dal testo.
Se la spiegazione ti è chiara attendo sviluppi, altrimenti fammi sapere.
3. più articolato ma sullo stesso genere... per il momento concentriamoci sul 2.
Grazie! Diciamo che non ho mai trovato esercizi del genere, il che mi ha un po' spiazzato. Sinceramente non ho mai avuto a che fare con $min (X,Y)$. Il ragionamento sull'esponenziale negativa l'ho capito ed era qualcosa di noto.
Vediamo come risolvere l'esercizio:
Dunque indichiamo con $X$ la prima macchina e $Y_(1),Y_(2)$ le due macchine successive. Indichiamo con $Z=min(X,Y_(i))$. Osserviamo subito che, $min(X,Y)>a hArr X,Y>a$
$f(x)=theta_(1)e^(-theta_(1)x)$
$f(y_(i))=theta_(2)e^(-theta_(2)y)$
Con semplici calcoli si ottiene $F_(Z)(z)=1-e^(-z(theta_(1)+theta_(2))$
quindi
1. il circuito della lavorazione è così schematizzabile
Per cui la probabilità che la lavorazione duri per almeno $p_(0)$ tempo è come dire che il minimo tempo prima dell'interruzione sia maggiore di $p_(0)$
$1-F_(Z)(p_(0))=e^(-p_(0)(theta_(1)+theta_(2))$
2. derivando la $F_(Z)$ otteniamo
$f(z)=(theta_(1)+theta_(2))e^(-z(theta_(1)+theta_(2)))~ EXP(theta_(1)+theta_(2))$
Riconosciamo subito una distribuzione esponenziale di parametro $(theta_(1)+theta_(2))$ e quindi la media è $1/((theta_(1)+theta_(2))$
3. Inserendo una seconda macchina $Y_(2)$ sussidiaria in caso di rottura di $Y_(1)$ il circuito è della lavorazione è così schematizzabile
quindi può essere risolto così:
$Y=Y_(1)+Y_(2)$
$Y~ Gamma(2;theta_(2))$
e di conseguenza la probabilità che la lavorazione non si fermi per almeno un tempo $p_(0)$ sarà (standardizzando la Gamma)
$e^(-p_(0)theta_(1))P{chi_((4))^2>=2theta_(2)p_(0)}$
dove il valore della probabilità della $chi_((4))^2$ lo leggi sulle tavole
ciao
Dunque indichiamo con $X$ la prima macchina e $Y_(1),Y_(2)$ le due macchine successive. Indichiamo con $Z=min(X,Y_(i))$. Osserviamo subito che, $min(X,Y)>a hArr X,Y>a$
$f(x)=theta_(1)e^(-theta_(1)x)$
$f(y_(i))=theta_(2)e^(-theta_(2)y)$
Con semplici calcoli si ottiene $F_(Z)(z)=1-e^(-z(theta_(1)+theta_(2))$
quindi
1. il circuito della lavorazione è così schematizzabile
Per cui la probabilità che la lavorazione duri per almeno $p_(0)$ tempo è come dire che il minimo tempo prima dell'interruzione sia maggiore di $p_(0)$
$1-F_(Z)(p_(0))=e^(-p_(0)(theta_(1)+theta_(2))$
2. derivando la $F_(Z)$ otteniamo
$f(z)=(theta_(1)+theta_(2))e^(-z(theta_(1)+theta_(2)))~ EXP(theta_(1)+theta_(2))$
Riconosciamo subito una distribuzione esponenziale di parametro $(theta_(1)+theta_(2))$ e quindi la media è $1/((theta_(1)+theta_(2))$
3. Inserendo una seconda macchina $Y_(2)$ sussidiaria in caso di rottura di $Y_(1)$ il circuito è della lavorazione è così schematizzabile
quindi può essere risolto così:
$Y=Y_(1)+Y_(2)$
$Y~ Gamma(2;theta_(2))$
e di conseguenza la probabilità che la lavorazione non si fermi per almeno un tempo $p_(0)$ sarà (standardizzando la Gamma)
$e^(-p_(0)theta_(1))P{chi_((4))^2>=2theta_(2)p_(0)}$
dove il valore della probabilità della $chi_((4))^2$ lo leggi sulle tavole
ciao
Grazie, non trovando l'argomento nelle dispense proverò a cercare online.
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