Esercizio di statistica

[AlyAly2]

Ciao a tutti, l'esercizio è il seguente:
1)Sia $X1, . . . ,Xn$ un campione casuale di taglia n estratto da una popolazione avente densità
$ f_X(x;beta)={ ( 1/sqrt(2pi)1/xe^(-(lnx-mu)^2/2),x>0 ),( 0,x<=0 ):} $
Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza per μ.
2)Si consideri un campione casuale di taglia 1 estratto dalla stessa popolazione. Verificare che $Y = lnX − mu $ è una quantità pivotale e, utilizzando la sua distribuzione, costruire un intervallo di confidenza del 90% per μ.

Per il punto uno mi serve solo una conferma spero
La funzione di verosimiglianza è
$ L(mu;x_1..x_n)=prod_(i=1)^n1/sqrt(2pi)1/x_ie^(-(lnx_i-mu)^2/2)=prod_(i=1)^n1/sqrt(2pi)1/x_ie^((sum_(i=1)^n-(lnx_i-mu)^2)/2)$
$lnL=lnprod_(i=1)^n1/sqrt(2pi)1/x_i+(sum_(i=1)^n-(lnx_i-mu)^2)/2$
Derivando ottengo:
$(dlnL)/(dmu)=sum_(i=1)^nlnx_i-nmu$
Quindi lo stimatore di massima verosimiglianza per μ è $ hat mu=(sum_(i=1)^nlnx_i)/n$
Fin qui va bene?
Per il punto due invece ho più difficoltà...
Si ha che $Y$ è una quantità pivotale se non dipende dal parametro incognito che in questo caso è μ. Probabilmente non riesco a svolgerlo perchè sbaglio qualcosa nel calcolo della densità di $ Y$:
$Y=lnX-mu=ln(1/sqrt(2pi)1/x)+lne^(-(lnx-mu)^2/2)-mu=ln(1/sqrt(2pi)1/x)-(lnx-mu)^2/2-mu$
e poi non so come andare avanti...qualcuno mi puo' aiutare?
Grazie mille in anticipo a tutti!

[DajeForte]

Allora non so perchè ma non vedo bene una formula all'inizio del messaggio, ma la posso immaginare. Lo stimatore dimassima verosimiglianza è giusto anche se ci sono degli errori nelle uguaglianze che scrivi.
Non do cosa voglia dire quantità pivotale ma da quello che scrivi immagino tale che la sua distribuzione non dipenda da $mu$.
Non ho capito cosa scrivi nell'ultima formula, comunque Y è normale standard. Poi devi usare questo risultato per trovare la distribuzione di $hat{mu}$ e con questa costruire un intervallo di confidenza.

[AlyAly2]

"DajeForte":
Non ho capito cosa scrivi nell'ultima formula, comunque Y è normale standard. Poi devi usare questo risultato per trovare la distribuzione di $hat{mu}$ e con questa costruire un intervallo di confidenza.

Ciao,allora l'ultima formula probabilmente non la capisci perchè è sbagliata
Mi potresti solo spiegare come arrivi a trovare che $Y$ è normale standard? poi per l'intervallo di confidenza penso di riuscire da sola o almeno un'idea ce l'ho..

"DajeForte":
Lo stimatore dimassima verosimiglianza è giusto anche se ci sono degli errori nelle uguaglianze che scrivi.

Me li potresti indicare? così almeno evito di ripeterli in esercizi successivi...

[DajeForte]

"AlyAly":$prod_(i=1)^n1/sqrt(2pi)1/x_ie^(-(lnx_i-mu)^2/2)=prod_(i=1)^n1/sqrt(2pi)1/x_ie^((sum_(i=1)^n-(lnx_i-mu)^2)/2)$

qua se metti la sommatoria, allra devi tirarla fuori dalla produttoria altrimenti conti due volte...

Per la normale prova a partire da $P(log X - mu < y) =P(X

Cita

Segnala

[AlyAly2]

"DajeForte":[quote="AlyAly"]$prod_(i=1)^n1/sqrt(2pi)1/x_ie^(-(lnx_i-mu)^2/2)=prod_(i=1)^n1/sqrt(2pi)1/x_ie^((sum_(i=1)^n-(lnx_i-mu)^2)/2)$

qua se metti la sommatoria, allra devi tirarla fuori dalla produttoria altrimenti conti due volte...
[/quote]
ma infatti è fuori dalla produttoria, però effettivamente da come l'ho scritto non sembra
Per quanto riguarda la normale, continuando quello che hai scritto mi viene:
$F(Y)={(1/sqrt(2pi)1/e^(y+mu)e^(-y^2/2),y>=0),(0,y<0):}$
quindi c'è un $ 1/e^(y+mu)$ di troppo...dove ho sbagliato?

[DajeForte]

$P(X

Cita

Segnala

[AlyAly2]

Perfetto, ora torna, anche perchè non compare più $ mu $ quindi è pivotale...
Ora per costruire l'intervallo di confidenza del 90% per $ mu $ ho che
$ bar(x)-z_(alpha/2) sigma/sqrt(n) ora oltre a sostituire $ z_(alpha/2)=1.645$ gli altri parametri rimangono incogniti giusto? o riesco a determinarli in qualche modo?

[DajeForte]

$sigma=1$ (perche'?); mentre $bar{x}$ e' la realizazione dellla variabile aleatoria $sum log(X_i)/n$, sempre che non abbia svarionato con i conti.
Il succo di questo esercizio e' vedere che $Y_i=log X_i sim N(mu,1)$ e fare un intervallo su queste normali.

[AlyAly2]

Ah già, è vero che $sigma=1$! Ora mi è tutto molto più chiaro, grazie mille per la disponibilità!

[DajeForte]

"AlyAly":Ah già, è vero che $sigma=1$! Ora mi è tutto molto più chiaro, grazie mille per la disponibilità!

Prego.