Esercizio di Probabilità sul calcolo della PDF
Salve ragazzi,
sto studiando per l'esame di probabilità ed informazione e purtroppo sto avendo non poche difficoltà.
Senza perdermi in chiacchiere vi propongo il testo dell'esercizio:
Si consideri la variabile aleatoria di pdf (funzione di densità di probabilità) $f_{X}(x)=kx$ per $x in ]0,1[$, e $f_{X}(x)=0$ altrove.
$a)$ Determinare il valore della costante $k$.
$b)$ Considerata la variabile aleatoria $Y = -log(x)$ determinare la pdf di $Y$
$c)$ Calcolare la probabilità che $1/2
Per il primo punto il mio ragionamento è stato il seguente:
sapendo che la variabile aleatoria ha pdf non nulla solo nell'intervallo $]0,1[$, allora deve risultare che $\int_{0}^{1} f_{X}(x) dx = 1$ cioè che $\int_{0}^{1} kx dx = 1$ , e risolvendo l'integrale ottengo $k=2$.
Per quanto riguarda il secondo punto:
ho utilizzato per il calcolo della pdf di $Y$ la formula $f(y) = \sum_{i} f(x_{i})/|g'(x_{i})|$, dove $x_{i}$ sono le soluzioni di $y=g(x)$.
Allora ho risolto l'equazione $y=-log(x)$ ottenendo come risultato risolvendola rispetto ad $x$, $x = 1/e^y$
Poi ho calcolato la $g'(x)$ ottenendo $1/|x|$. Quindi la pdf di $Y$ è $f_{Y}(y)=e^yf_{X}(1/e^y)$. Ma per come è definita la pdf di $X$, per $y>0$ $f_{X}(x) = 2/e^y$ dunque la pdf di $Y$ dovrebbe essere $f_{Y}(y) = 2$. E qui mi sorge il primo dubbio: è possibile avere una pdf costante per ogni $y>0$? Difatti credo sia proprio questo risultato a darmi un risultato assurdo nell'ultimo punto del problema.
Terzo punto:
tale probabilità dovrei ottenerla risolvendo $\int_(1/2)^2f_{X}(x)dx$ cioè $\int_(1/2)^2 2xdx$. Ma siccome la variabile aleatoria $X$ ha pdf definita solo in $]0,1[$, allora mi sono limitato a calcolare l'integrale tra $1/2$ ed $1$ (altro dubbio), ottenendo come risultato $\int_(1/2)^1 2xdx = 3/4$
Quarto punto:
anche qui ho risolto come prima,cioè $\int_0^1f_{Y}(y)dy$ ovvero $\int_(0)^(1)2dy$ ottenendo come risultato $2$ e qui non ci sono dubbi di un errore.
Spero di non essermi dilungato troppo e soprattutto confido in un vostro aiuto
Inizio già a ringraziare tutti voi! 
sto studiando per l'esame di probabilità ed informazione e purtroppo sto avendo non poche difficoltà.
Senza perdermi in chiacchiere vi propongo il testo dell'esercizio:
Si consideri la variabile aleatoria di pdf (funzione di densità di probabilità) $f_{X}(x)=kx$ per $x in ]0,1[$, e $f_{X}(x)=0$ altrove.
$a)$ Determinare il valore della costante $k$.
$b)$ Considerata la variabile aleatoria $Y = -log(x)$ determinare la pdf di $Y$
$c)$ Calcolare la probabilità che $1/2
Per il primo punto il mio ragionamento è stato il seguente:
sapendo che la variabile aleatoria ha pdf non nulla solo nell'intervallo $]0,1[$, allora deve risultare che $\int_{0}^{1} f_{X}(x) dx = 1$ cioè che $\int_{0}^{1} kx dx = 1$ , e risolvendo l'integrale ottengo $k=2$.
Per quanto riguarda il secondo punto:
ho utilizzato per il calcolo della pdf di $Y$ la formula $f(y) = \sum_{i} f(x_{i})/|g'(x_{i})|$, dove $x_{i}$ sono le soluzioni di $y=g(x)$.
Allora ho risolto l'equazione $y=-log(x)$ ottenendo come risultato risolvendola rispetto ad $x$, $x = 1/e^y$
Poi ho calcolato la $g'(x)$ ottenendo $1/|x|$. Quindi la pdf di $Y$ è $f_{Y}(y)=e^yf_{X}(1/e^y)$. Ma per come è definita la pdf di $X$, per $y>0$ $f_{X}(x) = 2/e^y$ dunque la pdf di $Y$ dovrebbe essere $f_{Y}(y) = 2$. E qui mi sorge il primo dubbio: è possibile avere una pdf costante per ogni $y>0$? Difatti credo sia proprio questo risultato a darmi un risultato assurdo nell'ultimo punto del problema.
Terzo punto:
tale probabilità dovrei ottenerla risolvendo $\int_(1/2)^2f_{X}(x)dx$ cioè $\int_(1/2)^2 2xdx$. Ma siccome la variabile aleatoria $X$ ha pdf definita solo in $]0,1[$, allora mi sono limitato a calcolare l'integrale tra $1/2$ ed $1$ (altro dubbio), ottenendo come risultato $\int_(1/2)^1 2xdx = 3/4$
Quarto punto:
anche qui ho risolto come prima,cioè $\int_0^1f_{Y}(y)dy$ ovvero $\int_(0)^(1)2dy$ ottenendo come risultato $2$ e qui non ci sono dubbi di un errore.
Spero di non essermi dilungato troppo e soprattutto confido in un vostro aiuto
Inizio già a ringraziare tutti voi!
Risposte
a) e c) ok anche se non serve l'integrale: la pdf è un triangolo e quindi basta la geometria delle scuole elementari.
b) Hai sbagliato la trasformazione di variabile. Devi dividere per $|g'(x)|=1/x$ .... tu l'hai scritto! Quindi ti viene
Che tra l'altro è una legge nota. Quale?
Ora puoi rivedere il punto restante
b) Hai sbagliato la trasformazione di variabile. Devi dividere per $|g'(x)|=1/x$ .... tu l'hai scritto! Quindi ti viene
$f_Y(y)=2e^(-2y)mathbb{1}_((0;oo))(y)$
Che tra l'altro è una legge nota. Quale?
Ora puoi rivedere il punto restante
Ciao, prima di tutto grazie per la risposta.
Riflettendoci un attimo ho capito che l'errore stava nel sostituire il tutto nella formula finale. Infatti ho:
- $f_{X}(e^-y) = 2e^-y$ per $y>0$
- $|g'(x_{i})|= 1/|e^-y|$ $rArr$ $e^y$
e quindi: $f_{Y}(y)=(2e^-y)/e^y$ $rArr$ $e^-y*2e^-y = 2e^-(2y)$
Ti dispiace spiegarmi la scrittura del tuo risultato?
La legge nota a cui invece ti riferisci è che la nostra $f_{Y}(y)$ è una variabile aleatoria esponenziale, giusto?
Riflettendoci un attimo ho capito che l'errore stava nel sostituire il tutto nella formula finale. Infatti ho:
- $f_{X}(e^-y) = 2e^-y$ per $y>0$
- $|g'(x_{i})|= 1/|e^-y|$ $rArr$ $e^y$
e quindi: $f_{Y}(y)=(2e^-y)/e^y$ $rArr$ $e^-y*2e^-y = 2e^-(2y)$
Ti dispiace spiegarmi la scrittura del tuo risultato?
La legge nota a cui invece ti riferisci è che la nostra $f_{Y}(y)$ è una variabile aleatoria esponenziale, giusto?
ho usato la funzione indicatrice per il supporto. Se non ti piace ignorala. Puoi (meno semplicemente) scrivere
$f_Y(y)={{: ( 2e^(-2y) , ;y>0 ),( 0 , ;"altrove" ) :}$
sì, è un'esponenziale negativa di media $1/2$
che libro usi? per caso il Gelli?
$f_Y(y)={{: ( 2e^(-2y) , ;y>0 ),( 0 , ;"altrove" ) :}$
sì, è un'esponenziale negativa di media $1/2$
che libro usi? per caso il Gelli?
Si esatto, sto usando il Gelli 
ottimo testo. In caso di ulteriori domande userò la stessa notazione del tuo libro 
Grazie mille, sei stato gentilissimo!
Per il momento con questo esercizio sto apposto, spero solo di non incontrare troppe difficoltà nei prossimi
In ogni modo saprò a chi rivolgermi, alla prossima!
Per il momento con questo esercizio sto apposto, spero solo di non incontrare troppe difficoltà nei prossimi
In ogni modo saprò a chi rivolgermi, alla prossima!
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