Esercizio di probabilità elementare
Salve a tutti, sto avendo difficoltà con il seguente
Esercizio: Si scelgono due punti a caso sull’intervallo [0, 1]. Calcolare la probabilità che i tre segmenti in cui risulta diviso l’intervallo siano i lati di un triangolo.
Affinché i tre segmenti siano i lati di un triangolo occorre che la lunghezza del segmento maggiore sia minore della somma delle lunghezze dei restanti due segmenti. Questo significa che, una volta fissato il primo punto nell'intervallo [0,1], il secondo punto non può essere fissato a piacere nell'intervallo [0,1]. Per esempio, se il primo punto è A=0.1 e il secondo è B=0.2 allora si individuano tre segmenti di lunghezza 0.1, 0.1 e 0.8, che non sono i lati di un triangolo. La probabilità cercata non è quindi pari a 1.
La soluzione a cui ho pensato è questa. Detto A il minimo tra i due punti e B il massimo tra i due punti, l'intervallo [0,1] si ripartisce nei tre segmenti $\bar{0A}$, $\bar{AB}$ e $\bar{B1}$. Di questi tre segmenti non è noto quale abbia la lunghezza maggiore, tuttavia se questi sono effettivamente i lati di un triangolo allora sicuramente varrano simultaneamente le relazioni
\[\begin{cases} l(\overline{0A})\leq l(\overline{AB})+l(\overline{B1}) \\
l(\overline{AB})\leq l(\overline{0A})+l(\overline{B1}) \\
l(\overline{B1})\leq l(\overline{0A})+l(\overline{AB}) \\ \end{cases}\]
dove con \(l\) intendo la funzione d'insieme lunghezza. Quindi equivalentemente si ha
\[\begin{cases}A\leq (B-A)+(1-B) \\
(B-A)\leq A+(1-B) \\
(1-B)\leq A+(B-A) \\ \end{cases} =\begin{cases} A\leq 1/2 \\
B\leq A/2+1/2 \\
B\geq 1/2 \\ \end{cases}\]
a questo punto, supponendo A e B indipendenti e considerando \(\mathbb{P}\) misura di Lebesgue su \(\mathbb{R}\), mi viene da concludere che la probabilità cercata vale
\[\begin{align*}\mathbb{P}(\overline{0A},\overline{AB},\overline{B1} \text{ sono lati di un triangolo})&=\mathbb{P}(A\in[0,1/2],B\in[1/2,1/2+A/2])\\
&=\mathbb{P}(A\in[0,1/2])\mathbb{P}(B\in[1/2,1/2+A/2])\\
&=\frac{1}{2}\frac{A}{2}=\frac{A}{4}\end{align*}\]
ma questo risultato dipende da \(A\), e la cosa mi suona strana. Ho la sensazione che il risultato debba essere un numero.
Esercizio: Si scelgono due punti a caso sull’intervallo [0, 1]. Calcolare la probabilità che i tre segmenti in cui risulta diviso l’intervallo siano i lati di un triangolo.
Affinché i tre segmenti siano i lati di un triangolo occorre che la lunghezza del segmento maggiore sia minore della somma delle lunghezze dei restanti due segmenti. Questo significa che, una volta fissato il primo punto nell'intervallo [0,1], il secondo punto non può essere fissato a piacere nell'intervallo [0,1]. Per esempio, se il primo punto è A=0.1 e il secondo è B=0.2 allora si individuano tre segmenti di lunghezza 0.1, 0.1 e 0.8, che non sono i lati di un triangolo. La probabilità cercata non è quindi pari a 1.
La soluzione a cui ho pensato è questa. Detto A il minimo tra i due punti e B il massimo tra i due punti, l'intervallo [0,1] si ripartisce nei tre segmenti $\bar{0A}$, $\bar{AB}$ e $\bar{B1}$. Di questi tre segmenti non è noto quale abbia la lunghezza maggiore, tuttavia se questi sono effettivamente i lati di un triangolo allora sicuramente varrano simultaneamente le relazioni
\[\begin{cases} l(\overline{0A})\leq l(\overline{AB})+l(\overline{B1}) \\
l(\overline{AB})\leq l(\overline{0A})+l(\overline{B1}) \\
l(\overline{B1})\leq l(\overline{0A})+l(\overline{AB}) \\ \end{cases}\]
dove con \(l\) intendo la funzione d'insieme lunghezza. Quindi equivalentemente si ha
\[\begin{cases}A\leq (B-A)+(1-B) \\
(B-A)\leq A+(1-B) \\
(1-B)\leq A+(B-A) \\ \end{cases} =\begin{cases} A\leq 1/2 \\
B\leq A/2+1/2 \\
B\geq 1/2 \\ \end{cases}\]
a questo punto, supponendo A e B indipendenti e considerando \(\mathbb{P}\) misura di Lebesgue su \(\mathbb{R}\), mi viene da concludere che la probabilità cercata vale
\[\begin{align*}\mathbb{P}(\overline{0A},\overline{AB},\overline{B1} \text{ sono lati di un triangolo})&=\mathbb{P}(A\in[0,1/2],B\in[1/2,1/2+A/2])\\
&=\mathbb{P}(A\in[0,1/2])\mathbb{P}(B\in[1/2,1/2+A/2])\\
&=\frac{1}{2}\frac{A}{2}=\frac{A}{4}\end{align*}\]
ma questo risultato dipende da \(A\), e la cosa mi suona strana. Ho la sensazione che il risultato debba essere un numero.
Risposte
La disuguaglianza triangolare deve valere per ogni lato.
Affinché i tre segmenti possano formare un triangolo occorre che l'area colorata sia $<1/2$
ma $a,b$ non devono essere entrami minori o entrambi maggiori di $1/2$. Quindi la probabilità cercata è $1/4$
PS: Ti potrebbe interessare anche questo
ciao
Affinché i tre segmenti possano formare un triangolo occorre che l'area colorata sia $<1/2$
ma $a,b$ non devono essere entrami minori o entrambi maggiori di $1/2$. Quindi la probabilità cercata è $1/4$
PS: Ti potrebbe interessare anche questo
ciao
Ciao, ti ringrazio per la risposta. Non ho capito bene come raggiungi il risultato.
Sì, dovrebbe essere quello che ho scritto qui
non capisco dove sbaglio, dato che il principio che utilizzo è solito usato da te.
potresti rispiegarmi questa affermazione? Non ho capito come connetterla alle disuguaglianze triangolari.
"tommik":
La disuguaglianza triangolare deve valere per ogni lato.
Sì, dovrebbe essere quello che ho scritto qui
"Gost91":
\begin{cases} l(\overline{0A})\leq l(\overline{AB})+l(\overline{B1}) \\ l(\overline{AB})\leq l(\overline{0A})+l(\overline{B1}) \\ l(\overline{B1})\leq l(\overline{0A})+l(\overline{AB}) \\ \end{cases}
non capisco dove sbaglio, dato che il principio che utilizzo è solito usato da te.
"tommik":
Affinché i tre segmenti possano formare un triangolo occorre che l'area colorata sia \(<\frac{1}{2}\)
potresti rispiegarmi questa affermazione? Non ho capito come connetterla alle disuguaglianze triangolari.
ops...mi ero dimenticato di questo topic; in ritardo ma ti rispondo (ero all'estero e rispondevo molto di fretta).
Io ho risolto molto semplicemente in questo modo:
Affinché i 3 lati possano formare un triangolo è necessario e sufficiente che il segmento $bar(ab)$ in figura sia $<1/2$ e che contenga il punto medio del segmento $(0;1)$.
Il disegno in figura è la densità di una distribuzione uniforme continua $U(0;1)$, ovvero la distribuzione casuale dei punti scelti $in(0;1)$.
E' evidente che la probabilità che il segmento $bar(ab)<1/2$ equivale alla probabilità dell'area colorata $rarr P(bar(ab)<1/2)=1/2$
Ma non basta! affinché il segmento in questione contenga il punto medio $x=1/2$ è necessario che i due punti scelti $a,b$ non si trovino entrambi in $(0;1/2)$ né in $(1/2;1)$. Ovviamente tale probabiltà è anch'essa $1/2$
Infatti, scegliendo casualmente due punti nel segmento $(0;1)$ abbiamo i seguenti casi possibili:
$(a,b) in (0;1/2)$
$(a,b) in (1/2;1)$
$a in (0;1/2); b in (1/2;1)$
$b in (0;1/2); a in (1/2;1)$
tutti equiprobabili. Ergo, due casi favorevoli su quattro $rarr p=1/2$
Di conseguenza il risultato è $1/2*1/2=1/4$
Ora veniamo alla tua soluzione:
beh di errori ce ne sono diversi...
1) hai sbagliato ad impostare gli intervalli favorevoli: infatti non è $B in (1/2;1/2+A/2)$ ma $B in (1/2;1/2+A)$
2) non hai considerato che entrambi i punti possono essere scelti in $(0;1/2)$, basta che non lo siano contemporaneamente e quindi devi considerare anche il caso opposto al 1), ovvero quando è $B in (0;1/2)$ e $A in (1/2;1/2+B)$
3) Il calcolo della probabilità che hai fatto ti viene dipendente da A perché hai calcolato la probabilità condizionata $P(B|A)$. Per calcolare la probabilità di $B$ condizionando su $A$ devi successivamente integrare su tutto $A$ (teorema della probabilità totale)
Di conseguenza, volendo seguire il tuo procedimento (che, sottolineo, non mi piace affatto) otterresti che la probabilità cercata è:
$P{a in (0;1/2);b in (1/2;1/2+a)}+P{b in (0;1/2);a in (1/2;1/2+b)}=1/2*1/4+1/2*1/4=1/4$
Per calcolare $P{b in (1/2;1/2+a)}$ condizionando sull'evento integriamo su A utilizzando il teorema della probabilità totale:
$P(B)=int_(a in A)pi(a)P(B|a)da=int_(0)^(1/2)2ada=1/4$
saluti
Io ho risolto molto semplicemente in questo modo:
Affinché i 3 lati possano formare un triangolo è necessario e sufficiente che il segmento $bar(ab)$ in figura sia $<1/2$ e che contenga il punto medio del segmento $(0;1)$.
Il disegno in figura è la densità di una distribuzione uniforme continua $U(0;1)$, ovvero la distribuzione casuale dei punti scelti $in(0;1)$.
E' evidente che la probabilità che il segmento $bar(ab)<1/2$ equivale alla probabilità dell'area colorata $rarr P(bar(ab)<1/2)=1/2$
Ma non basta! affinché il segmento in questione contenga il punto medio $x=1/2$ è necessario che i due punti scelti $a,b$ non si trovino entrambi in $(0;1/2)$ né in $(1/2;1)$. Ovviamente tale probabiltà è anch'essa $1/2$
Infatti, scegliendo casualmente due punti nel segmento $(0;1)$ abbiamo i seguenti casi possibili:
$(a,b) in (0;1/2)$
$(a,b) in (1/2;1)$
$a in (0;1/2); b in (1/2;1)$
$b in (0;1/2); a in (1/2;1)$
tutti equiprobabili. Ergo, due casi favorevoli su quattro $rarr p=1/2$
Di conseguenza il risultato è $1/2*1/2=1/4$
Ora veniamo alla tua soluzione:
"Gost91":
non capisco dove sbaglio....
beh di errori ce ne sono diversi...
1) hai sbagliato ad impostare gli intervalli favorevoli: infatti non è $B in (1/2;1/2+A/2)$ ma $B in (1/2;1/2+A)$
2) non hai considerato che entrambi i punti possono essere scelti in $(0;1/2)$, basta che non lo siano contemporaneamente e quindi devi considerare anche il caso opposto al 1), ovvero quando è $B in (0;1/2)$ e $A in (1/2;1/2+B)$
3) Il calcolo della probabilità che hai fatto ti viene dipendente da A perché hai calcolato la probabilità condizionata $P(B|A)$. Per calcolare la probabilità di $B$ condizionando su $A$ devi successivamente integrare su tutto $A$ (teorema della probabilità totale)
Di conseguenza, volendo seguire il tuo procedimento (che, sottolineo, non mi piace affatto) otterresti che la probabilità cercata è:
$P{a in (0;1/2);b in (1/2;1/2+a)}+P{b in (0;1/2);a in (1/2;1/2+b)}=1/2*1/4+1/2*1/4=1/4$
Per calcolare $P{b in (1/2;1/2+a)}$ condizionando sull'evento integriamo su A utilizzando il teorema della probabilità totale:
$P(B)=int_(a in A)pi(a)P(B|a)da=int_(0)^(1/2)2ada=1/4$
saluti
Ti ringrazio per la spiegazione esauriente, gentilissimo.
Appena ho modo me la leggo con calma, poi nel caso mi rifarò vivo per ulteriori chiarimenti.
Ciao
Appena ho modo me la leggo con calma, poi nel caso mi rifarò vivo per ulteriori chiarimenti.
Ciao
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