Esercizio di probabilità di un canale binario asimmetrico
Un trasmettitore digitale trasmette una stringa di 8 bit "10100100" attraverso un canale binario non simmetrico. Nel caso in cui sia trasmesso uno 0, il ricevitore lo riconosce come 0 con probabilità 0.9, e lo riconosce come 1 con probabilità 0.1; nel caso in cui sia trasmesso un 1, il ricevitore lo riconosce come 1 con probabilità 0.8, e lo riconosce come 0 con probabilità 0.2. Calcolare:
a) La probabilità che venga ricevuta la stringa "10010101".
b) La probabilità che la stringa ricevuta presenti 3 bit errati.
Ho dei dubbi sulla risoluzione di questo esercizio, ho dedotto che la probabilità di trasmettere 0 è uguale a quella di trasmettere 1 pari a 0.5, con le relative probabilità condizionate dettate dalla traccia.
Considerando la probabilità dell'errore pari a $ P(e)=0.15$,$ P(0t)$ la probabilità di trasmettere 0, $P(0r)$ la probabilità di ricevere 0 e via dicendo le altre probabilità, avevo pensato di risolvere il primo quesito cosi: $ P(1r|1t)P(1t)*P(0r|0t)P(0t)*P(0r|1t)P(1t) $... ma non sono convinto di ciò, anzi.
Per il secondo quesito avevo pensato al teorema fondamentale degli esperimenti ripetuti dove $k$=3, $n$=8 $p$=$P(e)$ e $q=1-P(e)$ .
Grazie in anticipo
a) La probabilità che venga ricevuta la stringa "10010101".
b) La probabilità che la stringa ricevuta presenti 3 bit errati.
Ho dei dubbi sulla risoluzione di questo esercizio, ho dedotto che la probabilità di trasmettere 0 è uguale a quella di trasmettere 1 pari a 0.5, con le relative probabilità condizionate dettate dalla traccia.
Considerando la probabilità dell'errore pari a $ P(e)=0.15$,$ P(0t)$ la probabilità di trasmettere 0, $P(0r)$ la probabilità di ricevere 0 e via dicendo le altre probabilità, avevo pensato di risolvere il primo quesito cosi: $ P(1r|1t)P(1t)*P(0r|0t)P(0t)*P(0r|1t)P(1t) $... ma non sono convinto di ciò, anzi.
Per il secondo quesito avevo pensato al teorema fondamentale degli esperimenti ripetuti dove $k$=3, $n$=8 $p$=$P(e)$ e $q=1-P(e)$ .
Grazie in anticipo
Risposte
"Cla480654":
Un trasmettitore digitale trasmette una stringa di 8 bit "10100100"
Calcolare:
a) La probabilità che venga ricevuta la stringa "10010101".
b) La probabilità che la stringa ricevuta presenti 3 bit errati.
La stringa iniziale la conosci. Quindi il problema è molto specifico e concreto.
"ghira":
[quote="Cla480654"]Un trasmettitore digitale trasmette una stringa di 8 bit "10100100"
Calcolare:
a) La probabilità che venga ricevuta la stringa "10010101".
b) La probabilità che la stringa ricevuta presenti 3 bit errati.
La stringa iniziale la conosci. Quindi il problema è molto specifico e concreto.[/quote]
Ti ringrazio per la risposta
Credo di aver capito dove sbaglio: in tal caso calcolavo anche la probabilità che venissero trasmessi quei bit, invece la traccia chiede semplicemente la probabilità di ricevere quella stringa. Quindi il calcolo dovrebbe essere $P(1r|1t)*P(0r|0t)*P(0r|0t)$... giusto?
Mentre per il secondo punto, l'approccio con la formula degli esperimenti ripetuti e le relative variabili è corretto giusto?
"Cla480654":
ho dedotto che la probabilità di trasmettere 0 è uguale a quella di trasmettere 1 pari a 0.5,
No.
"Cla480654":
Considerando la probabilità dell'errore pari a $ P(e)=0.15$,
Cosa?
"Cla480654":
Considerando la probabilità dell'errore pari a $ P(e)=0.15$,
Cosa?[/quote]
La probabilità totale dell'errore: $P(e)=P(0t)*P(1r|0t)+P(1t)P(0r|1t)$ dove t sta per trasmesso e r sta per ricevuto.
"Cla480654":
Quindi il calcolo dovrebbe essere $P(1r|1t)*P(0r|0t)*P(0r|0t)$... giusto?
Direi di sì.
"Cla480654":
Mentre per il secondo punto, l'approccio con la formula degli esperimenti ripetuti e le relative variabili è corretto giusto?
Ma anche qui conosci la stringa originale...
"Cla480654":
La probabilità totale dell'errore: $P(e)=P(0t)*P(1r|0t)+P(1t)P(0r|1t)$ dove t sta per trasmesso e r sta per ricevuto.
Ma.. cosa? Mi sembra simultaneamente sbagliato e irrilevante.
Se la stringa originale fosse 00000000 o 11111111 cambierebbe la risposta alla seconda parte? Come?
"ghira":
[quote="Cla480654"]
La probabilità totale dell'errore: $P(e)=P(0t)*P(1r|0t)+P(1t)P(0r|1t)$ dove t sta per trasmesso e r sta per ricevuto.
Ma.. cosa? Mi sembra simultaneamente sbagliato e irrilevante.
Se la stringa originale fosse 00000000 o 11111111 cambierebbe la risposta alla seconda parte? Come?[/quote]
Non ho ben capito che intendi, io mi riferisco al fatto che per quanto riguarda il secondo quesito, la traccia dice esplicitamente "tre bit errati" e quindi non specifica quale viene rilevato erroneamente, dunque ho pensato di calcolare con la formula degli esperimenti ripetuti la probabilità di ESATTAMENTE 3 errori. Se non ho capito male la tua affermazione, la risposta cambierebbe aumentando $k$ sempre usando la formula degli esperimenti ripetuti, dunque mi serve la probabilità totale.
"Cla480654":
Non ho ben capito che intendi,
Cosa c'è da capire? Ho fatto due domande.
Se la stringa originale fosse 00000000 o 11111111 cambierebbe la risposta alla seconda parte? Come?
"Cla480654":
io mi riferisco al fatto che per quanto riguarda il secondo quesito, la traccia dice esplicitamente "tre bit errati" e quindi non specifica quale viene rilevato erroneamente, dunque ho pensato di calcolare con la formula degli esperimenti ripetuti la probabilità di ESATTAMENTE 3 errori. Se non ho capito male la tua affermazione, la risposta cambierebbe aumentando $k$ sempre usando la formula degli esperimenti ripetuti, dunque mi serve la probabilità totale.
Non ho parlato di $k$. Cos'è $k$? Ti chiedo di fare il secondo quesito per le stringhe 00000000 e 11111111. Entrambe di 8 bit.
Quale sarebbe la mia "affermazione"? Di quali "esperimenti ripetuti" e "probabilità totale" parli? Temo che stia seguendo una strada sbagliata e/o irrilevante.
"ghira":
[quote="Cla480654"]
Non ho ben capito che intendi,
Cosa c'è da capire? Ho fatto due domande.
Se la stringa originale fosse 00000000 o 11111111 cambierebbe la risposta alla seconda parte? Come?
"Cla480654":
io mi riferisco al fatto che per quanto riguarda il secondo quesito, la traccia dice esplicitamente "tre bit errati" e quindi non specifica quale viene rilevato erroneamente, dunque ho pensato di calcolare con la formula degli esperimenti ripetuti la probabilità di ESATTAMENTE 3 errori. Se non ho capito male la tua affermazione, la risposta cambierebbe aumentando $k$ sempre usando la formula degli esperimenti ripetuti, dunque mi serve la probabilità totale.
Non ho parlato di $k$. Cos'è $k$? Ti chiedo di fare il secondo quesito per le stringhe 00000000 e 11111111. Entrambe di 8 bit.[/quote]
Considerando che la traccia chiede la probabilità di 3 bit riconosciuti erroneamente su 8, per 00000000 sarà $ P(1r|0t)^3 $ e per 11111111 sarà $P(0r|1t)^3$ , tu intendi questo giusto?
"Cla480654":
Considerando che la traccia chiede la probabilità di 3 bit riconosciuti erroneamente su 8, per 00000000 sarà $ P(1r|0t)^3 $ e per 11111111 sarà $P(1r|0t)^3$ , tu intendi questo giusto?
Volevi dire $P(0r|1t)^3$ in uno dei due casi, no?
Comunque. No. O se i valori sono giusti è una coincidenza incredibile. Non ho controllato.
"ghira":
[quote="Cla480654"]
Considerando che la traccia chiede la probabilità di 3 bit riconosciuti erroneamente su 8, per 00000000 sarà $ P(1r|0t)^3 $ e per 11111111 sarà $P(1r|0t)^3$ , tu intendi questo giusto?
Volevi dire $P(0r|1t)^3$ in uno dei due casi, no?
Comunque. No. O se i valori sono giusti è una coincidenza incredibile. Non ho controllato.[/quote]
Si infatti ho subito corretto.
Non vorrei andare a tentativi ma non riesco a trovare una soluzione che non sia quella di operare per la formula degli esperimenti ripetuti, mi sai dare qualche suggerimento?
"Cla480654":
Non vorrei andare a tentativi ma non riesco a trovare una soluzione che non sia quella di operare per la formula degli esperimenti ripetuti
Di quale formula parli? Non dirmi https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_binomiale
Comunque, con la stringa iniziale quali sono le probabilità di non avere alcun errore? Di avere 1 errore? 8 errori?
Calcolare la probabilità di avere esattamente 3 errori non mi pare esattamente immediato ma non è nemmeno così terribile.
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