Esercizio di probabilità con possibile svolgimento
L'esercizio è questo:
Un officina esegue la manutenzione di 2 catene di produzione. Il numero giornaliero di macchine guaste provenienti dalla catena A segue una legge $ B(2, 1/2) $. Il numero giornaliero di macchine guaste provenienti dalla catena B segue una legge $ B(1, 1/3) $.
Si calcoli la probabilità che in un giorno ci siano 2 interventi da eseguire.
Allora io ho pensato di fare così:
$ Xa = "n guasti dalla catena A" $
$ Xb = "n guasti dalla catena B" $
$ C = "X=2" $ ossia che n° guasti in un giorno=2.
$ P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)
dove $ P(A)=P(B)=1/2 $
E poi avevo pensato di calcolarmi le altre due sfruttando la formula della binomiale appunto..
Ma appena calcolo $ P(C|B)=P(Xb=2) $ c'è il problema che mi viene $ ((1),(2)) $ sostituendo nella formula $ ((n),(k)) $
E questa combinazione fa zero?? oppure ho sbagliato tutto il ragionamento?
Il fatto che la binomiale della catena B abbia $ n=1 $ mi dice qualcosa?
Spero che mi aiuterete.. e spero di essere stato chiaro.. sono nuovo!
Un officina esegue la manutenzione di 2 catene di produzione. Il numero giornaliero di macchine guaste provenienti dalla catena A segue una legge $ B(2, 1/2) $. Il numero giornaliero di macchine guaste provenienti dalla catena B segue una legge $ B(1, 1/3) $.
Si calcoli la probabilità che in un giorno ci siano 2 interventi da eseguire.
Allora io ho pensato di fare così:
$ Xa = "n guasti dalla catena A" $
$ Xb = "n guasti dalla catena B" $
$ C = "X=2" $ ossia che n° guasti in un giorno=2.
$ P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)
dove $ P(A)=P(B)=1/2 $
E poi avevo pensato di calcolarmi le altre due sfruttando la formula della binomiale appunto..
Ma appena calcolo $ P(C|B)=P(Xb=2) $ c'è il problema che mi viene $ ((1),(2)) $ sostituendo nella formula $ ((n),(k)) $
E questa combinazione fa zero?? oppure ho sbagliato tutto il ragionamento?
Il fatto che la binomiale della catena B abbia $ n=1 $ mi dice qualcosa?
Spero che mi aiuterete.. e spero di essere stato chiaro.. sono nuovo!
Risposte
La $ B(1, 1/3) $ la devo considerare come una Bernoulli no?
La probabilità che ho 2 guasti è $ (1/3)^2 $ ?
La probabilità che ho 2 guasti è $ (1/3)^2 $ ?
L'officina fa manutenzione a tutte e due le produzioni. Due intervnti al giorno si intende complessivamente su entrambe le catene di produzione.
Quindi direi che chiede $P(X_a+X_b=2)$
Quindi direi che chiede $P(X_a+X_b=2)$
mmm e quindi come si risolve?
In quanti modi può essere $X_a+X_b=2$ ?
1-1
0-2
2-0
0-2
2-0
Giusto. Devi sommare le probabilità di questi 3 casi incompatibili.
Ok e fino a qua ci siamo... Il mio problema è che quando faccio $ P(Xb=2) $ la mia $ Xb -> B(1,1/3) $ cioè una bernulli ! Come faccio a calcolarmi questa probabilità?
E' zero. Nella binomiale con parametro n=1, puoi avere solo X=0 oppure X=1.
Quindi i casi si riducono a due.
Quindi i casi si riducono a due.
aaaah ok ok. quindi mi viene 50% di probabilità che in un giorno ricevo 2 manutenzioni!! Corretto?
aaaah ok ok. quindi mi viene 50% di probabilità che in un giorno ricevo 2 manutenzioni!! Corretto?
"Nitto90":
aaaah ok ok. quindi mi viene 50% di probabilità che in un giorno ricevo 2 manutenzioni!! Corretto?
Non mi torna. Mi viene di meno. Se posti i conti controlliamo
Allora $ P(Xa=1)=1/2 $
$ P(Xb=1)=1/3 $
$ P(Xa=0)=1/4 $
$ P(Xb=2)=0 $
$ P(Xa=2)=1/4 $
$ P(Xb=0)=2/3 $
$ P(Xa)*P(Xb) + P(Xa)*P(Xb) + P(Xa)*P(Xb) = 1/6 + 0 + 1/6 = 1/3 $
Prima ho sbagliato scusami!
$ P(Xb=1)=1/3 $
$ P(Xa=0)=1/4 $
$ P(Xb=2)=0 $
$ P(Xa=2)=1/4 $
$ P(Xb=0)=2/3 $
$ P(Xa)*P(Xb) + P(Xa)*P(Xb) + P(Xa)*P(Xb) = 1/6 + 0 + 1/6 = 1/3 $
Prima ho sbagliato scusami!
Ho provato a svolgerlo anche con il teorema delle probabilità totali:
$ P(D)=P(D|A)*P(A) + P(D|B)*P(B) $
dove $ P(A)=P(B) = 1/2 $ e alla fine mi viene $ 1/8 $
Quale dei due metodi è più corretto?
$ P(D)=P(D|A)*P(A) + P(D|B)*P(B) $
dove $ P(A)=P(B) = 1/2 $ e alla fine mi viene $ 1/8 $
Quale dei due metodi è più corretto?
Direi che in questo esercizio il teorema della probabilità totale non c'entra.
Cosa rappresenterebbero $P(A)=P(B)=1/2$ ?
Mica scegliamo da quale catena di produzione proviene il guasto..
Come abbiamo fatto prima mi sembra corretto e corrisponde all'evento ${X_a+X_b=2}={X_a=2 nn X_b=0} uu {X_a=1 nn X_b=1} uu {X_a=0 nn X_b=2}$
Cosa rappresenterebbero $P(A)=P(B)=1/2$ ?
Mica scegliamo da quale catena di produzione proviene il guasto..
Come abbiamo fatto prima mi sembra corretto e corrisponde all'evento ${X_a+X_b=2}={X_a=2 nn X_b=0} uu {X_a=1 nn X_b=1} uu {X_a=0 nn X_b=2}$
Io inizialmente avevo pensato alla partizione dell'evento certo..
La $ P(A)=P(B)=1/2 $ è la probabilità che le macchine provengano da A o da B.. necessaria per la formula!
La $ P(A)=P(B)=1/2 $ è la probabilità che le macchine provengano da A o da B.. necessaria per la formula!
Partizionare vuol dire che o il guasto proviene solo da A o solo da B.
Ma questo non è il caso in esame, in quanto si può avere anche un guasto da A e un guasto da B contemporaneamente, non trovi ?
Se invece l'esercizio avesse detto: "l'officina sceglie a caso una linea di produzione da riparare":
In questo caso allora c'era una partizione: o sceglie A o B.
E, dicendo "sceglie a caso", lascia intendere in modo equiprobabile, cioè 1/2 ad entrambi.
Ma, di nuovo, io non "leggo" queste cose nel testo.
Ma questo non è il caso in esame, in quanto si può avere anche un guasto da A e un guasto da B contemporaneamente, non trovi ?
Se invece l'esercizio avesse detto: "l'officina sceglie a caso una linea di produzione da riparare":
In questo caso allora c'era una partizione: o sceglie A o B.
E, dicendo "sceglie a caso", lascia intendere in modo equiprobabile, cioè 1/2 ad entrambi.
Ma, di nuovo, io non "leggo" queste cose nel testo.
Ah perfetto.. ora mi è piu chiara la differenza.. Non facevo questo ragionamento!
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
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