Esercizio di probabilità
ciao a tutti, ho un problema con un esercizio di calcolo, in pratica questo è l'esercizio, Un esperimento consiste nel generare a caso un vettore di interi ($x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $x_4$ ), dove $x_i$ ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∀i.
(ii) Posto A = {esattamente due elementi del vettore sono uguali tra loro} e B = {gli
elementi del vettore sono tutti numeri pari}, si valuti l’indipendenza degli eventi A e B.
per verificare l'indipendenza devo calcolare le probabilità di A e B, per P(B) nessuno problema perchè è di $\frac{3^4}{6^4}$
ma per P(A) non riesco a capire come devo calcolarla.
(ii) Posto A = {esattamente due elementi del vettore sono uguali tra loro} e B = {gli
elementi del vettore sono tutti numeri pari}, si valuti l’indipendenza degli eventi A e B.
per verificare l'indipendenza devo calcolare le probabilità di A e B, per P(B) nessuno problema perchè è di $\frac{3^4}{6^4}$
ma per P(A) non riesco a capire come devo calcolarla.
Risposte
Contiamo in quanti modi esattamente due elementi sono uguali:
- i primi due sono uguali in 6 modi, e gli altri due possono essere di 5 valori (diversi dai primi due): $6*5^2$
- il primo e il terzo, ragionamento come come sopra: $6*5^2$
eccetera. Quante sono queste combinazioni? Prova a continuare.
- i primi due sono uguali in 6 modi, e gli altri due possono essere di 5 valori (diversi dai primi due): $6*5^2$
- il primo e il terzo, ragionamento come come sopra: $6*5^2$
eccetera. Quante sono queste combinazioni? Prova a continuare.
in pratica il primo e il secondo sono uguali in 6 modi e gli alti due possono assumere gli altri 5 valori per cui $6*$$5^2$
il primo e il terzo possono assumere 6 modi e gli altri due gli altri 5 valori per cui $6*$$5^2$
il primo e il quarto possono assumere 6 modi e gli altri due gli altri 5 valori per cui $6*$$5^2$
il secondo e il terzo possono assumere 6 modi e gli altri due gli altri 5 valori per cui $6*$$5^2$
il secondo e il quarto possono assumere 6 modi e gli altri due gli altri 5 valori per cui $6*$$5^2$
il terzo e il quarto possono assumere 6 modi e gli altri due gli altri 5 valori per cui $6*$$5^2$
giusto fin qui?
il primo e il terzo possono assumere 6 modi e gli altri due gli altri 5 valori per cui $6*$$5^2$
il primo e il quarto possono assumere 6 modi e gli altri due gli altri 5 valori per cui $6*$$5^2$
il secondo e il terzo possono assumere 6 modi e gli altri due gli altri 5 valori per cui $6*$$5^2$
il secondo e il quarto possono assumere 6 modi e gli altri due gli altri 5 valori per cui $6*$$5^2$
il terzo e il quarto possono assumere 6 modi e gli altri due gli altri 5 valori per cui $6*$$5^2$
giusto fin qui?
Giusto. E sono 6, ma pensa tu le coincidenze. 
Quindi ora puoi calcolare la probabilità dell'evento A.
Certo, a volte basta molto meno, tipo considerare il vettore (2, 2, 4, 6)... cosa ti dice questo ragionamento?
Quindi ora puoi calcolare la probabilità dell'evento A.Certo, a volte basta molto meno, tipo considerare il vettore (2, 2, 4, 6)... cosa ti dice questo ragionamento?
mi disp Rggb ma non riesco a capirlo, non riesco a entrare nel meccanismo, ho solo capito che in pratica tutte le possibili coppie di numeri uguali sono $6*6$ = 36 e che tutte le possibili combinazioni sono di $6^4$.
poi qui
che sono numeri pari
poi qui
Certo, a volte basta molto meno, tipo considerare il vettore (2, 2, 4, 6)... cosa ti dice questo ragionamento
che sono numeri pari
"Sentenza84":
mi disp Rggb ma non riesco a capirlo, non riesco a entrare nel meccanismo, ho solo capito che in pratica tutte le possibili coppie di numeri uguali sono $6*6$ = 36 e che tutte le possibili combinazioni sono di $6^4$.
Scusa, pensavo di "illuminarti" e invece forse ti ho complicato le idee... E poi il mio ragionamento non è corretto:
- i primi due sono uguali in 6 modi, il terzo dei 5 valori differenti e il quarto dei 4 valori differenti, $6*5*4$
- il primo e il terzo, ragionamento come come sopra, $6*5*4$
e ci sono 6 combinazioni siffatte quindi il numero totale delle combinazioni con esattamente due valori uguali è $6^2*5*4$, dal quale calcoli la probabilità dell'evento A:
$P(A)=text{casi possibili}/text{casi totali}=(6^2*5*4)/(6^4)=5/9$
"Sentenza84":
poi quiCerto, a volte basta molto meno, tipo considerare il vettore (2, 2, 4, 6)... cosa ti dice questo ragionamento
che sono numeri pari
e che ci sono anche esattamente due numeri uguali; quindi A e B sono indipendenti o no? L'evento (2, 2, 4, 6) appartiene sia ad A sia a B...
allora Rggb, avevo fatto anche io quel ragionamento ma alla fine ecco la soluzione
$P(A)=\frac(6*5*4*((4),(2)))(6^4)$
questo ragionamento non riesco a capirlo, questa soluzione è stata posta dal prof. in persona
c'è da capire che gli eventi non sono indipendenti
$P(A)=\frac(6*5*4*((4),(2)))(6^4)$
questo ragionamento non riesco a capirlo, questa soluzione è stata posta dal prof. in persona
c'è da capire che gli eventi non sono indipendenti
"Sentenza84":
allora Rggb, avevo fatto anche io quel ragionamento ma alla fine ecco la soluzione
$P(A)=\frac(6*5*4*((4),(2)))(6^4)$
questo ragionamento non riesco a capirlo, questa soluzione è stata posta dal prof. in persona
Ma scusa, pensaci un attimo: quanto vale $((4),(2))$?
vale 6, alla fine è la stessa cosa che scrivere $6^2*5*4$
"Sentenza84":
vale 6, alla fine è la stessa cosa che scrivere $6^2*5*4$
Infatti penso che Rggb intendesse dire che non è necessario stare a contare tutte le coppie uguali su 4, quando esiste il coefficiente binomiale apposta... Magari per numeri piccoli come 2 e 4 si conta bene, ma se iniziano a diventare più grandi...
grazie retrocomputer, ho capito adesso, ma vediamo se il ragionamento è così:
in pratica il primo e il secondo sono uguali in 6 modi e delle altre altre due $x_i$ non ci interessa nulla per cui abbiamo 6 combinazioni, e uguale per il 1°e 3°, 1° e 4°, 2° e 3°, 2° e 4° e 3° e 4° giusto? per cui abbiamo $6*6$ combinazioni ovvero $6^2$, poi per la terza $x_i$ abbiamo che può assumere gli altri 5 valori restanti e per la quarta $x_i$ abbiamo che può assumere altri 4 valori restanti, il tutto diviso tutti i casi possibili che in quest caso erano di $6^4$.
è questo il ragionamento o sbaglio qualcosa.
Scusatemi se mi prolungo molto ma vorrei capire anche questo.
per trovare la loro indipendenza devo trovare la loro intersezione cioè:
$P(A ∩ B) = \frac(3*2*1*((4),(2)))(6^4)$
e anche qui non ho capito il ragionamento come non riesco a capire questo
A={esattamente due elementi del vettore sono uguali tra loro}
C={nel vettore c'è una coppia di 1}
devo trovare questo
(iii) Se ci sono esattamente due elementi del vettore uguali tra loro, qual’è la probabilità che si tratti di una coppia di numeri 1?
il risultato è questo
naturalmente qui si usa la proprietà condizionata e quindi:
$P(C|A)= \frac(P(CnnA))(P(A)) = \frac(5/54)(5/9)$
ma
$P(CnnA) = \frac(5*4*((4),(2)))(6^4) = \frac(5)(54)$
ma su $P(CnnA)$ come si ragiona?
in pratica il primo e il secondo sono uguali in 6 modi e delle altre altre due $x_i$ non ci interessa nulla per cui abbiamo 6 combinazioni, e uguale per il 1°e 3°, 1° e 4°, 2° e 3°, 2° e 4° e 3° e 4° giusto? per cui abbiamo $6*6$ combinazioni ovvero $6^2$, poi per la terza $x_i$ abbiamo che può assumere gli altri 5 valori restanti e per la quarta $x_i$ abbiamo che può assumere altri 4 valori restanti, il tutto diviso tutti i casi possibili che in quest caso erano di $6^4$.
è questo il ragionamento o sbaglio qualcosa.
Scusatemi se mi prolungo molto ma vorrei capire anche questo.
per trovare la loro indipendenza devo trovare la loro intersezione cioè:
$P(A ∩ B) = \frac(3*2*1*((4),(2)))(6^4)$
e anche qui non ho capito il ragionamento come non riesco a capire questo
A={esattamente due elementi del vettore sono uguali tra loro}
C={nel vettore c'è una coppia di 1}
devo trovare questo
(iii) Se ci sono esattamente due elementi del vettore uguali tra loro, qual’è la probabilità che si tratti di una coppia di numeri 1?
il risultato è questo
naturalmente qui si usa la proprietà condizionata e quindi:
$P(C|A)= \frac(P(CnnA))(P(A)) = \frac(5/54)(5/9)$
ma
$P(CnnA) = \frac(5*4*((4),(2)))(6^4) = \frac(5)(54)$
ma su $P(CnnA)$ come si ragiona?
grazie mille a tutti, alla fine ho capito che bisognava giocare sulle disposizioni e i conti adesso ritornano.
un grazie particolare a Rggb e retrocomputer.
un grazie particolare a Rggb e retrocomputer.
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