Esercizio di probabilità
Trovo difficoltà con il seguente esercizio:
Alice (A), Barbara (B) e Carlo (C) si sfidano in un torneo con le seguenti modalità.
Nel primo incontro si affrontano A e B. Il vincitore gioca poi contro C, se vince anche questo incontro è
proclamato vincitore; se invece vince C, costui gioca contro il perdente dell’incontro precedente e così di
seguito. Il primo giocatore che vince due incontri consecutivi vince il torneo. Si tenga presente che A, B e C
hanno la stessa abilità nel gioco e pertanto ogni incontro è vinto da uno dei due contendenti con probabilità
1/2.
i) Qualche giocatore è avvantaggiato dalle regole?
ii) Calcolare la probabilità che il torneo finisca dopo n incontri, n ≥ 2.
iii) Calcolare le probabilità di vittoria per A, B e C.
iv) Il torneo potrebbe non avere mai termine?
iv) per questo punto sono sicuro che effettivamente il torneo potrebbe non avere mai fine osservando il grafico sottostante dove le lettere accoppiate sono gli incontri e le lettere singole le vittorie della data lettera
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ AB
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / \
$ $ $ $ $ $ $ $ AC BC
$ $ $ $ $ $ $ $ / \ $ $ $ $ / \
$ $ $ $ A CB C AB
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / \ $ $ $ $ $ $ / \
$ $ $ $ $ $ $ $ C ... $ $ $ $ C$ $ $ $ ...
vediamo che esistono due percorsi infiniti.
ii)per questo punto vedo che al passo 3 vi è una probabilità di $1/2$ di vittoria di A o B, al passo 4 probabilità di vittoria di 1/4 di C,
al passo n avrò una probabilità di vittoria di $\frac{1}{2^n}$
Ammesso che questi due punti siano corretti, non so da dove cominciare con gli altri due, mi serve un aiuto se possibile
Alice (A), Barbara (B) e Carlo (C) si sfidano in un torneo con le seguenti modalità.
Nel primo incontro si affrontano A e B. Il vincitore gioca poi contro C, se vince anche questo incontro è
proclamato vincitore; se invece vince C, costui gioca contro il perdente dell’incontro precedente e così di
seguito. Il primo giocatore che vince due incontri consecutivi vince il torneo. Si tenga presente che A, B e C
hanno la stessa abilità nel gioco e pertanto ogni incontro è vinto da uno dei due contendenti con probabilità
1/2.
i) Qualche giocatore è avvantaggiato dalle regole?
ii) Calcolare la probabilità che il torneo finisca dopo n incontri, n ≥ 2.
iii) Calcolare le probabilità di vittoria per A, B e C.
iv) Il torneo potrebbe non avere mai termine?
iv) per questo punto sono sicuro che effettivamente il torneo potrebbe non avere mai fine osservando il grafico sottostante dove le lettere accoppiate sono gli incontri e le lettere singole le vittorie della data lettera
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ AB
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / \
$ $ $ $ $ $ $ $ AC BC
$ $ $ $ $ $ $ $ / \ $ $ $ $ / \
$ $ $ $ A CB C AB
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / \ $ $ $ $ $ $ / \
$ $ $ $ $ $ $ $ C ... $ $ $ $ C$ $ $ $ ...
vediamo che esistono due percorsi infiniti.
ii)per questo punto vedo che al passo 3 vi è una probabilità di $1/2$ di vittoria di A o B, al passo 4 probabilità di vittoria di 1/4 di C,
al passo n avrò una probabilità di vittoria di $\frac{1}{2^n}$
Ammesso che questi due punti siano corretti, non so da dove cominciare con gli altri due, mi serve un aiuto se possibile
Risposte
"kiop01":
Ammesso che questi due punti siano corretti, non so da dove cominciare con gli altri due, mi serve un aiuto se possibile
Stai facendo un corso sulle catene di Markov? Uso le catene di Markov per fare quasi tutto.
@kiop01
Al primo turno il gioco non può arrestarsi.
Poi (come hai dedotto) abbiamo che (considerando il secondo turno come fosse il primo) la prob. che il gioco si arresti è come un lancio di moneta.
Pertanto il problema equivale a trovare il valore atteso di lanci di una moneta affinché esca (diciamo) croce.
E poi ci sommi 1.
Al primo turno il gioco non può arrestarsi.
Poi (come hai dedotto) abbiamo che (considerando il secondo turno come fosse il primo) la prob. che il gioco si arresti è come un lancio di moneta.
Pertanto il problema equivale a trovare il valore atteso di lanci di una moneta affinché esca (diciamo) croce.
E poi ci sommi 1.
"ghira":
Stai facendo un corso sulle catene di Markov? Uso le catene di Markov per fare quasi tutto.
Ciao, no è un corso di elementi di probabilità
"Bokonon":
@kiop01
Al primo turno il gioco non può arrestarsi.
Poi (come hai dedotto) abbiamo che (considerando il secondo turno come fosse il primo) la prob. che il gioco si arresti è come un lancio di moneta.
Pertanto il problema equivale a trovare il valore atteso di lanci di una moneta affinché esca (diciamo) croce.
E poi ci sommi 1.
Non credo di aver capito, il testo richiede le singole probabilità totali di vittoria di ogni giocatore, come ci posso arrivare con il tuo procedimento?
"kiop01":
Non credo di aver capito, il testo richiede le singole probabilità totali di vittoria di ogni giocatore, come ci posso arrivare con il tuo procedimento?
Perché rispondevo al secondo quesito...che non hai completato.
Hai capito quale serie notevole utilizzare?
Per il terzo quesito, quale ragionamento hai provato?
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