Esercizio di probabilità

[pago90]

Buongiorno, vorrei porvi questo problema di probabilità/calcolo combinatorio:

Un campionato di tennis da 40 tappe è formato da 80 giocatori. Ad ogni tappa andranno a premio i primi 8 giocatori.
Qual è la probabilità che un dato giocatore che partecipa a tutte e 40 le tappe vada a premio 3 volte? 6 volte? e 10 volte?
Qual è la probabilità che un dato giocatore che partecipa a tutte e 40 le tappe arrivi nelle prime 3 posizioni 1,3 o 6 volte?

Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto

[pago90]

provo ad esporre il mio ragionamento:

Il giocatore x ha il 10% di probabilità di andare a premio ad una singola tappa, quindi se la domanda fosse ad esempio:
Probabilità che giocatore x vada a premio ad 1 tappa su 3 a cui ha partecipato, il processo logico sarebbe:
La condizione viene soddisfatta quando le 3 tappe vanno nei seguenti modi: VPP, PVP, PPV, quindi:
0,1 X 0,9 x 0,9 + 0,9 x 0,1 x 0,9 + 0,9 x 0,9 x 0,1 = 0,243
Oppure anche: 1- P (E1) E1= VVV,VVP, PPP, PVV, VPV --> 1- [0,1x0,1x0,1 + 0,1x0,1x0,9+ 0,9x0,9x0,9+ 0,9x0,1x0,1+ 0,1x0,9x0,1]=
1- 0,757 = 0,243

Se fosse invece: "Probabilità che giocatore x vada a premio 2 tappe su 3: VVP, VPV, PV --> 3x(0,1x0,1x0,9)= 0,027

Quindi la regola generale dovrebbe essere: NUMERO TAPPE x PROBABILITà di ANDARE A PREMIO ^a x PROBABILITà DI NON ANDARE A PREMIO ^b dove a= numero vittorie richieste, b= numero tappe- a

Quindi nel problema da me posto la soluzione dovrebbe essere:

1) 40X 0,1 ^3 X 0,9^ 37 = 40X 0,001 X 0,020275559590445 = 0,000811022383618
2) 40X 0,1 ^6 X 0,9 ^ 34
3) 40 X 0,1^ 10X 0,9^ 30


E nel secondo quesito:
1) 40X 0,0375^1 X 0,9625^39
2) 40X 0,0375^3 X 0,9625^37
3) 40X 0,0375^6 X 0,9625^34

[Umby2]

"pago90":

Quindi nel problema da me posto la soluzione dovrebbe essere:

1) 40X 0,1 ^3 X 0,9^ 37 = 40X 0,001 X 0,020275559590445 = 0,000811022383618
2) 40X 0,1 ^6 X 0,9 ^ 34
3) 40 X 0,1^ 10X 0,9^ 30


E nel secondo quesito:
1) 40X 0,0375^1 X 0,9625^39
2) 40X 0,0375^3 X 0,9625^37
3) 40X 0,0375^6 X 0,9625^34

[pago90]

Al posto di quel 40 direi che bisogna mettere una permutazione con ripetizione del tipo: n! / a! b!
Quindi in questo caso:
1) 40! / 3! 37! X 0,1 ^3 X 0,9^ 37
2) 40! / 6! 34! X 0,1 ^6 X 0,9 ^ 34
3) 40! / 10! 30! X 0,1^ 10X 0,9^ 30

e nel secondo:
1) 40! / 1! 39!X 0,0375^1 X 0,9625^39
2) 40! / 3! 37!X 0,0375^3 X 0,9625^37
3) 40! / 6! 34!X 0,0375^6 X 0,9625^34

Che ne dite?

[superpippone]

Direi che l'ultima versione va bene.

Però metti un segno del dollaro $ all'inizio ed alla fine delle formule.
Altrimenti quello che scrivi è praticamente illeggibile...

[pago90]

Grazie @superpippone, il simbolo $ lo uso su excel, non sapevo che fosse consuetudine anche qui, mi scuso.
Spero che l'ultima versione sia corretta visto che dovrò usare questi ragionamenti per implicazioni pratiche, per questo mi darebbe sicurezza avere delle conferme, io sono un po' arrugginito