Esercizio di probabilità
Buongiorno a tutti, ho svolto il seguente esercizio di probabilità e vorrei sapere se è fatto bene:
"Il diametro misurato in cm dei dischi prodotti da una certa macchina è una va x con funzione di densità: $ f(x)= (1/9)(4x-x^2) $ con $ 1
x=diametro dei dischi
y=superficie dei dischi= $ piD^2/4 $ = $ pix^2/4 $
$ E(Y)=E(pix^2/4)=int_(1)^(4) (pix^2/4)(1/9)(4x-x^2) dx $ = $ 4,385 $
$ E(Y^2)=E(pi^2x^4/16)=int_(1)^(4) (pix^4/16)(1/9)(4x-x^2) dx $ = $ 26,88 $
$ Var(Y)= E(Y^2)-(E(Y))^2= 7,652 $
Grazie mille in anticipo per la risposta.
"Il diametro misurato in cm dei dischi prodotti da una certa macchina è una va x con funzione di densità: $ f(x)= (1/9)(4x-x^2) $ con $ 1
x=diametro dei dischi
y=superficie dei dischi= $ piD^2/4 $ = $ pix^2/4 $
$ E(Y)=E(pix^2/4)=int_(1)^(4) (pix^2/4)(1/9)(4x-x^2) dx $ = $ 4,385 $
$ E(Y^2)=E(pi^2x^4/16)=int_(1)^(4) (pix^4/16)(1/9)(4x-x^2) dx $ = $ 26,88 $
$ Var(Y)= E(Y^2)-(E(Y))^2= 7,652 $
Grazie mille in anticipo per la risposta.
Risposte
ti sei perso un $pi$ nel calcolo del momento secondo (all'interno dell'integrale ma è solo un refuso, dato che i conti tornano)...
Per il resto il metodo è giusto, anche se lascerei il $pi$ nei conti....
$E(Y)=...=7/5pi$
$E(Y^2)=...=303/112pi^2$
comunque ok....
Sapresti risolverlo in un altro modo? ovvero calcolando
$E(Y)=int_(-oo)^(+oo)yf(y)dy$
così, giusto per rendere l'esercizio un po' più interessante....
La densità di $y$ viene:
$f_(Y)(y)=(8/(9pi)-(4sqrt(y))/(9sqrt(pi^3)))I_([pi/4;4pi])(y)$
Per il resto il metodo è giusto, anche se lascerei il $pi$ nei conti....
$E(Y)=...=7/5pi$
$E(Y^2)=...=303/112pi^2$
comunque ok....
Sapresti risolverlo in un altro modo? ovvero calcolando
$E(Y)=int_(-oo)^(+oo)yf(y)dy$
così, giusto per rendere l'esercizio un po' più interessante....
La densità di $y$ viene:
$f_(Y)(y)=(8/(9pi)-(4sqrt(y))/(9sqrt(pi^3)))I_([pi/4;4pi])(y)$
infatti ho trovato un po' di difficoltà a farlo...per caso mi puoi spiegare in che modo sei arrivato a questo risultato? Grazie e scusa per il disturbo.
premesso che come hai fatto tu è supercorretto....ti vorrei solo ricordare che in altri casi potrebbe essere più conveniente l'altro metodo...ovvero quello di calcolare la distribuzione di y.
tale densità si calcola nel seguente modo:
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$
$y=g(X)=pi/4x^2$ e quindi, essendo $g(x)$ monotona crescente nell'intervallo che ci interessa otteniamo
$x=g^(-1)=2/sqrt(pi)sqrt(y)$
...applichi la formula ed hai finito.
Di conseguenza
$E(Y)=int_(pi/4)^(4pi) {(8y)/(9pi)-(4sqrt(y^3))/(9sqrt(pi^3) )}dy=...=7/5pi$
ecc ecc
tale densità si calcola nel seguente modo:
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$
$y=g(X)=pi/4x^2$ e quindi, essendo $g(x)$ monotona crescente nell'intervallo che ci interessa otteniamo
$x=g^(-1)=2/sqrt(pi)sqrt(y)$
...applichi la formula ed hai finito.
Di conseguenza
$E(Y)=int_(pi/4)^(4pi) {(8y)/(9pi)-(4sqrt(y^3))/(9sqrt(pi^3) )}dy=...=7/5pi$
ecc ecc
ok adesso ho capito, grazie sei stato gentilissimo 
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