Esercizio di Calcolo Combinatorio
Ciao a tutti, ho appena iniziato lo studio del calcolo combinatorio e sto affrontando i primi problemi.
In un problema di permutazione il testo mi dice :
Quanti numeri PARI di quattro cifre posso scrivere con 0,1,2,5,6 e 9? ( senza ripetizione )
Io ho provato a ragionare in questo modo ( la soluzione ce l'ho, il fatto è che vorrei capire il ragionamento che sta alla base di questi esercizi ).
- Il numero deve essere pari, quindi solo 0,2,6 possono stare al posto delle unità. (n1=unità,n2=decine,n3=centinaia,n4=migliaia), quindi n1=3
- Ora pensandoci per un numero di 4 cifre la posizione delle migliaia non può essere 0. Quindi n4=4
Di conseguenza avrò n3=4 per la posizione delle centinaia ( dato che torno a considerare tra i possibili elementi lo 0)
e n2=3 per la posizione delle decine, quindi avrò :
Pn = n1*n2*n3*n4 = 144
So che è sbagliato, il problema mi chiede invece di impostare l'esercizio dividendo due casi, quello in cui ho 0 al posto delle unità e quello in cui non ho 0 al posto delle unità. Non riesco proprio a capire il motivo
In un problema di permutazione il testo mi dice :
Quanti numeri PARI di quattro cifre posso scrivere con 0,1,2,5,6 e 9? ( senza ripetizione )
Io ho provato a ragionare in questo modo ( la soluzione ce l'ho, il fatto è che vorrei capire il ragionamento che sta alla base di questi esercizi ).
- Il numero deve essere pari, quindi solo 0,2,6 possono stare al posto delle unità. (n1=unità,n2=decine,n3=centinaia,n4=migliaia), quindi n1=3
- Ora pensandoci per un numero di 4 cifre la posizione delle migliaia non può essere 0. Quindi n4=4
Di conseguenza avrò n3=4 per la posizione delle centinaia ( dato che torno a considerare tra i possibili elementi lo 0)
e n2=3 per la posizione delle decine, quindi avrò :
Pn = n1*n2*n3*n4 = 144
So che è sbagliato, il problema mi chiede invece di impostare l'esercizio dividendo due casi, quello in cui ho 0 al posto delle unità e quello in cui non ho 0 al posto delle unità. Non riesco proprio a capire il motivo
Risposte
Aggiungo un problema analogo, non riesco a capire il ragionamento di fondo :
Un'associazione di studenti composta da 50 individui elegge un presidente e un tesoriere, Quante scelte distinte degli incarichi sono possibili se :
- A è il presidente, non sarà necessario eleggerne un altro
Il mio ragionamento è semplicemente stato : A è scelto come presidente, quindi ho 49 esiti possibili per un tesoriere.
Il libro però aggiunge un altro caso che dice : I due ruoli sono scelti dai 49 individui senza A, per un totale di 49*48 = 2352 possibili scelte, quindi il numero totale di possibilità è 49+2352 = 2401.
Non riesco a capire il senso della risposta, se l'esercizio dice che non è necessario eleggere un altro presidente perchè si prende in considerazione nel calcolo delle permutazioni possibili la scelta di un altro presidente?
Un'associazione di studenti composta da 50 individui elegge un presidente e un tesoriere, Quante scelte distinte degli incarichi sono possibili se :
- A è il presidente, non sarà necessario eleggerne un altro
Il mio ragionamento è semplicemente stato : A è scelto come presidente, quindi ho 49 esiti possibili per un tesoriere.
Il libro però aggiunge un altro caso che dice : I due ruoli sono scelti dai 49 individui senza A, per un totale di 49*48 = 2352 possibili scelte, quindi il numero totale di possibilità è 49+2352 = 2401.
Non riesco a capire il senso della risposta, se l'esercizio dice che non è necessario eleggere un altro presidente perchè si prende in considerazione nel calcolo delle permutazioni possibili la scelta di un altro presidente?
E' corretto il suggerimento del libro.
Perchè se lo $0$ è in ultima posizione, hai le altre cinque cifre disposibili senza alcun vicolo. $5*4*3=60$
Se invece non ce l'hai in ultima posizione, non puoi averlo neanche in prima, ed il numero de ve terminare per 2 o 6.
$4*4*3*2=96$
$60+96=156$
Perchè se lo $0$ è in ultima posizione, hai le altre cinque cifre disposibili senza alcun vicolo. $5*4*3=60$
Se invece non ce l'hai in ultima posizione, non puoi averlo neanche in prima, ed il numero de ve terminare per 2 o 6.
$4*4*3*2=96$
$60+96=156$
Purtroppo il calcolo combinatorio mi sta dando non pochi problemi, sono ancora fermo alle basi e proprio non riesco a capirle.
Volevo esporvi un paio di problemi :
- ho 5 giorni lavorativi, ogni giorno scelgo 1 autoveicolo da un parco auto di 3 veicoli v1 v2 v3
qual è la probabilità di usare V1 solo Lun e Mar?
qual è la prob di usare V1 solo 2 volte?
La prima richiesta viene trovata facendo 2^3/3^5
La seconda richiesta facendo ( coeff binomiale) (5 su 2) * 2^3/3^5
Qualcuno sa spiegarmi perchè? Non riesco proprio a capire questo genere di esercizi
Volevo esporvi un paio di problemi :
- ho 5 giorni lavorativi, ogni giorno scelgo 1 autoveicolo da un parco auto di 3 veicoli v1 v2 v3
qual è la probabilità di usare V1 solo Lun e Mar?
qual è la prob di usare V1 solo 2 volte?
La prima richiesta viene trovata facendo 2^3/3^5
La seconda richiesta facendo ( coeff binomiale) (5 su 2) * 2^3/3^5
Qualcuno sa spiegarmi perchè? Non riesco proprio a capire questo genere di esercizi
"Fievel":
La prima richiesta viene trovata facendo 2^3/3^5
La seconda richiesta facendo ( coeff binomiale) (5 su 2) * 2^3/3^5
Qualcuno sa spiegarmi perchè? Non riesco proprio a capire questo genere di esercizi
1) Forse lo capisci meglio con questo ragionamento:
Le auto sono 3, la probabilità che tu scelga la prima (v1) è $1/3$, quella che ne scegli una delle altre due (v2 o v3) è $2/3$
Quindi: Lunedì $1/3$ per martedì $1/3$ per mercoledì $2/3$ per giovedì $2/3$ per venerdì $2/3$
$= 2^3/3^5$
2) L'auto v1 in questo caso è usata sempre 2 volte, ma potrebbe essere scelta non solo lunedì e martedì, ma anche ad es. lunedì e mercoledì, oppure lunedì e giovedì, ecc...
Devi quindi moltiplicare il risultato di 1) per il numero delle combinazioni semplici:
$C(5,2) = (5!)/[(5-2)! * 2!] = 10$
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