Esercizio d'esame (rettangolare continua)

[Myride19881]

Salve a tutti,riporto il testo d'esame

"Si hanno le seguenti distribuzioni di densità relativa:
-un normale con media 172,7 e varianza 46,6
-una rettangolare continua definita nell'intervallo [a,b]
Si standardizzino le modalità di entrambi le distribuzioni fornendo le seguenti elaborazioni:
-il disegno ,nello stesso sistema di assi ortogonali Xi-Yi,delle de distribuzioni strandardizzate
-i nuovi estremi della rettangolare standardizzata.
Per la sola distribuzione normale si calcoli il numero di frequenza comprese nell'intervallo 175-178 qualora la stessa Normale faccia riferimento a 400 unità.
Supponendo che le 400 modalità della Normale una volta standardizzate siano anche elevate al quadrato,si disegnino,nel grafico precedente ,la nuova distribuzione.

LA MIA DOMANDA:
-come è il disegno di una rettangolare continua strandardizzata?Io ho pensato a una rettangolare con estremi [-1,1] e di altezza 0,5,dato che l'area è costantemente uguale a 1
-Il disegno della normale al quadrato standardizzata? Assomiglia a una chi quadro?Che quota ha?

[Lo_zio_Tom]

Sappiamo che

$X~ U(a,b)$

quindi $f_(X)(x)=1/(b-a)$

sappiamo anche che, se la funzione di trasformazione $Y=g(X)$ è monotona,

$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1))|d/(dy)g^(-1)|$

Quindi non ci resta che scegliere opportunamente la funzione di trasformazione: in virtù del teorema della trasformazione integrale scelgo

$Y=F_(X)(x)=(X-a)/(b-a)$

da cui

$X=(b-a)Y+a$

e

$(dx)/(dy)=b-a$

Utilizzando la formula di trasformazione che ti ho indicato ottieni subito

$f_(Y)(y)=I_((0;1))(y)$



*************************
Stessa cosa per la standardizzazione di modelli di scala e di posizione....sono argomenti basilari:

Es1:

$f(x)=thetae^(-thetax)$

questa è una esponenziale di parametro $theta$ . Il modello è definito come modello di scala del tipo $f(thetax)$

Quindi per una nota proprietà si standardizza così:

$Y=thetaX$

infatti otteniamo subito:

$X=Y/theta$

$(dx)/(dy)=1/theta$

$f_(Y)(y)=theta e^(-theta y/theta) 1/theta=e^(-y)$

che come vedi non dipende più dal parametro e quindi è standardizzata

ES2: prendiamo una $N(mu;sigma^2)$

[size=150]

$f(x)=1/(sigmasqrt(2pi)) e^(-1/2 ((x-mu)/sigma)^2)$

[/size]

riconosciamo in tale modello un modello misto del tipo $f((x-mu)/sigma)$ ed ovviamente trasformandolo in

$Z=(X-mu)/sigma$ otteniamo una normale standard, ovvero una normale che non dipende dai parametri della $f(x)$

Con la stessa tecnica standardizzi tutte le distribuzioni Gamma riconducendole a delle $chi^2$ e quindi puoi utilizzare le tavole, trovare intervalli di confidenza, impostare test di ipotesi...ecc ecc

spero che ti sia chiaro l'argomento perché è di importanza fondamentale per l'inferenza

ES3: (autovalutazione) come standardizzeresti questa?

$X-={{: ( -theta , theta ),( 1/2 , 1/2 ) :}$

[Myride19881]

Grazie per la soluzione,ma non sarei mai stato in grado,non credo di aver mai visto una roba simile a lezione.