Esercizio d'esame probabilità e statistica
Salve,
avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio uscito all'esame di probabilità e statistica:
Due persone possono arrivare in un determinato luogo in qualsiasi istante di un intervallo di tempo t. Se x è l'istante di arrivo della prima persona e y>x è l'istante di arrivo della seconda persona, si individui l'insieme dei punti del piano (x,y) che rappresentano tutti gli eventi possibili e quindi si calcoli la probabilità che la prima persona debba aspettare un tempo non superiore a d.
Ho provato a ragionare visualizzando graficamente il problema: ho un quadrato di lato t pari all'intervallo di tempo in cui le persone possono arrivare in quel determinato luogo (x sul lato orizzontale e y su quello verticale). Le coppie x,y che soddisfano l'evento "l'istante di arrivo della seconda persona è y>x, essendo x l'istante di arrivo della prima persona" sono quelle appartenenti al triangolo "a sinistra" della diagonale del quadrato. In questo caso: eventi possibili=t*t=area quadrato ed eventi favorevoli=(t*t)/2=area del triangolo a sx della diagonale.
Però abbiamo anche che la seconda persona può ritardare al massimo di d, quindi gli eventi sono quelli compresi tra la suddetta diagonale e una retta (parallela alla diagonale) di equazione y=x+d.
Alla luce di queste mie considerazioni, qualcuno mi aiuta a calcolare la probabilità richiesta?
avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio uscito all'esame di probabilità e statistica:
Due persone possono arrivare in un determinato luogo in qualsiasi istante di un intervallo di tempo t. Se x è l'istante di arrivo della prima persona e y>x è l'istante di arrivo della seconda persona, si individui l'insieme dei punti del piano (x,y) che rappresentano tutti gli eventi possibili e quindi si calcoli la probabilità che la prima persona debba aspettare un tempo non superiore a d.
Ho provato a ragionare visualizzando graficamente il problema: ho un quadrato di lato t pari all'intervallo di tempo in cui le persone possono arrivare in quel determinato luogo (x sul lato orizzontale e y su quello verticale). Le coppie x,y che soddisfano l'evento "l'istante di arrivo della seconda persona è y>x, essendo x l'istante di arrivo della prima persona" sono quelle appartenenti al triangolo "a sinistra" della diagonale del quadrato. In questo caso: eventi possibili=t*t=area quadrato ed eventi favorevoli=(t*t)/2=area del triangolo a sx della diagonale.
Però abbiamo anche che la seconda persona può ritardare al massimo di d, quindi gli eventi sono quelli compresi tra la suddetta diagonale e una retta (parallela alla diagonale) di equazione y=x+d.
Alla luce di queste mie considerazioni, qualcuno mi aiuta a calcolare la probabilità richiesta?
Risposte
posti $O(0,0);A(t,t);C(0,d)$,bisogna determinare il punto $B$ di intersezione tra le rette $y=x+d$ ed $y=t$
la probabilità cercata è il rapporto tra l'area del poligono $OABC$ e l'area del quadrato
la probabilità cercata è il rapporto tra l'area del poligono $OABC$ e l'area del quadrato
"stormy":
posti $O(0,0);A(t,t);C(0,d)$,bisogna determinare il punto $B$ di intersezione tra le rette $y=x+d$ ed $y=t$
la probabilità cercata è il rapporto tra l'area del poligono $OABC$ e l'area del quadrato
Quindi è giusto scrivere che la probabilità chiesta è $[(t^2)/2-(((t-d)^2)/2)]/t^2$ cioè calcolata come rapporto tra casi favorevoli (=l'area del trapezio che si forma $OABC$ ) e i casi possibili (=area del quadrato)?
certamente
"stormy":
certamente
Ti ringrazio per "il consulto"
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