Esercizio densità di probabilità

[Return89]

Ciao a tutti, ho il seguente esercizio:

Una variabile aleatoria $X$ ha funzione densità di probabilità:
$f(x)={(h,1 Dire il valore $h$ che rende $f$ una densità di probabilità.

Io so che si ha una densità di probabilità quando integrando tutta la funzione ottengo come risultato $1$.
facendo la somma degli integrali nei loro intervalli (in maniera sbagliata suppongo) e uguagliando questa somma ad $1$ ottengo: $(3h-h)+(12h-6h)+(8h-6h)=1$.
E quindi $h=1/10$, ed ottengo il risultato giusto. Ma non è sbagliata l'integrazione? Cioè $\int_1^3hdx=(3h-h)$,$\int_3^6hdx=(12h-6h)$,$\int_6^8hdx=(8h-6h)$??

N.B.: so che dovrei aggiungere anche gli integrali per $x<1$ e $x>8$ mettendo come risultato $0$ ma l'ho tralasciato per non far ulteriore confusione..

[hamming_burst]

"Return89":
$f(x)={(h,1

E' delimitata correttamente? non ci sono uguaglianze? es. il valore $6$ non è definito nella densità.

[Return89]

Quindi? Non ho capito che condizione dovrei porre..
Grazie per l'aiuto:)

[Return89]

Non mi risulta :S come dovrei fare?

[hamming_burst]

"Return89":
E quindi $h=1/10$, ed ottengo il risultato giusto. Ma non è sbagliata l'integrazione? Cioè $\int_1^3hdx=(3h-h)$,$\int_3^6hdx=(12h-6h)$,$\int_6^8hdx=(8h-6h)$??

ok per $h$.

per calcolare e definire tali integrali dovresti passare al limite, perchè sono integrali impropri (essendo gli intervalli di esistenza aperti, quindi con $f$ possibilmente illimitata, da questo la mia domanda) e non sono definiti in $3,6,8$ anche se ha poco senso lasciare dei punti singoli senza definizione.

Sia il nostro intervallo di esitenza aperto $(a,b)$ e che la funziona $f$ sia continua nell'intervallo $[a+t,b-r]$ per $t,r>0$ con tutti gli accorgimenti del caso, allora

$int_a^b f(x) \text{d}x =^\text{def} lim_{t,r->0} int_{a+t}^{b-r} f(x) \text{d}x$

"Return89":N.B.: so che dovrei aggiungere anche gli integrali per $x<1$ e $x>8$ mettendo come risultato $0$ ma l'ho tralasciato per non far ulteriore confusione..

direi $x<=1$ e $x>=8$.

[Return89]

mmmm si ma quindi per trovare quel $h=1/10$ è sbagliato il procedimento sugli integrali che ho fatto io? la questione che mi hai suggerito tu serve ai fini della soluzione oppure è solo un accorgimento in più, cioè devo vedere che esiste prima l'integrale

Grazie!

[Return89]

Nessuno sa rispondermi?

[hamming_burst]

"Return89":mmmm si ma quindi per trovare quel $h=1/10$ è sbagliato il procedimento sugli integrali che ho fatto io?

rileggi ciò che ti ho scritto. Il valore $h$ è corretto, ma teoricamente il calcolo è sbagliato.
[size=50]ma torna "magicamente" anche se limiti.[/size]

"Return89":la questione che mi hai suggerito tu serve ai fini della soluzione oppure è solo un accorgimento in più, cioè devo vedere che esiste prima l'integrale

bhe questo va oltre l'esercizio, non è richiesto dimostrare che sia una densità, perchè è assunto esserlo.

[Return89]

Ok, ma quindi quale sarebbe il calcolo giusto? non capisco

Grazie ancora!

[Return89]

Qualcuno che sa dirmi come arrivo a calcolare $h=1/10$? Non capisco come fare :S

Grazie

[hamming_burst]

facciamola facile.

Se una v.a. X è continua allora $P(a < X < b) = P(a <= X <= b)$
i punti estremi di esistenza non contano per il mero calcolo, quindi il tuo calcolo è valido, ma per le motivazioni sopra descritte (anche se sono solo accennate).

$P(1 < X < 3) = P(1 <= X <= 3)$
$P(3 < X < 6) = P(3 <= X <= 6)$
$P(6 < X < 8) = P(6 <= X <= 8)$

ok, chiaro ora?

[Return89]

Si ma quel che non ho capito è: Che calcoli devo fare? Dico il procedimento da fare qual è? E' una domanda sulla pratica più che sulla teoria..

Grazie ancora, sei molto gentile ^^

[Return89]

Help..mi serve solo sapere come svolgere correttamente quei calcoli..
Grazie..

[hamming_burst]

Sai che la proprietà fondamentale per essere una cdf deve risultare che $int_A f(x) \text{d}x = 1$ con $A$ il campo di
allora per renderla valida nel nostro esercizio troviamo $h$ sommando tutti gli intervalli di esistenza.

$P(1 < X < 3) + P(3 < X < 6) + P(6 < X < 8) = P(1 <= X <= 3) + P(3 <= X <= 6) + P(6 <= X <= 8)$ allora

$int_{1}^{3} hdx + int_{3}^{6} 2hdx + int_{6}^{8} hdx = h(3-1) + 2h(6-3) + h(8-6) = ... = 10h = 1$

$h=1/10$

[Return89]

Risolto!

Ho un ultimo quesito..

Una volta che mi trovo la funzione di ripartizione mi chiede di calcolare la mediana.
La funzione di ripartizione è la seguente:

$F(x)={(0,x<=1),((x-1)/10,1=8):}$

Adesso mi chiede di calcolare la mediana.
Secondo quel che ho capito finora devo semplicemente trovare la soluzione dell'equazione:
$(x+2)/10=0,5$ ma mi da un risultato diverso dal libro di testo.
Ho quindi fatto diverse prove e mi sono accorto che il risultato corretto esce fuori risolvendo l'equazione $(x-2)/5=0,5$. Perché? Quando considero quantili/mediane devo anche guardare in che parte dell'intervallo mi trovo, e quindi nel caso della mediana devo posizionarmi circa "nel mezzo" (intervallo compreso tra $3$ e $6$)??