Esercizio densità congiunta

[poncelet]

Siano $X$ e$Y$ v.a. entrambe a valori nell'insieme ${-1,0,1}$ e con distribuzione congiunta data dalla tabella:

[tex]\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Y$\backslash$X & -1 & 0 & 1\\
\hline
-1 & 0.1 & 0.1 & 0\\
\hline
0 & 0 & 0.1 & 0.3\\
\hline
1 & 0.1 & 0.15 & \theta\\
\hline
\end{tabular}[/tex]

essendo $\theta$ un opportuno valore $0<\theta<1$.
a) Determinare il valore di $\theta$.
b) Determinare la distribuzione di probabilità congiunta della coppia $(X,Z)$ dove $Z=X*Y$.
c) Determinare la distribuzione di probabilità marginale della variabile $Z$.
d) Determinare la distribuzione di probabilità condizionata di $X$, dato ${Z=1}$.

L'esercizio è elementare ma volevo essere sicuro di aver capito. Allora:

a) Impongo che la somma dei valori delle probabilità marginali sia $1$ (sia per $P_X$ che per $P_Y$) ed ottengo $\theta=0.15$.

b) Ho pensato che mi si chiedesse di trovare la tabella relativa alla distribuzione congiunta di $(X,Z)$
Ho sviluppato i seguenti calcoli:

$P(X=-1,Z=-1)=P(X=-1,Y=1)=0.1$
$P(X=-1,Z=0)=P(X=-1,Y=0)=0$
$P(X=-1,Z=1)=P(X=-1,Y=-1)=0.1$
$P(X=0,Z=-1)=0$
$P(X=0,Z=0)=P(X=0,Y=-1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.1+0.1+0.15=0.35$
$P(X=0,Z=1)=0$
$P(X=1,Z=-1)=P(X=1,Y=-1)=0$
$P(X=1,Z=0)=P(X=1,Y=0)=0.3$
$P(X=1,Z=1)=P(X=1,Y=1)=0.15$

Abbiamo dunque la seguente tabella:

[tex]\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Z$\backslash$X & -1 & 0 & 1\\
\hline
-1 & 0.1 & 0 & 0\\
\hline
0 & 0 & 0.35 & 0.3\\
\hline
1 & 0.1 & 0 & 0.15\\
\hline
\end{tabular}[/tex]

c) La distribuzione marginale di $Z$ si ricava facilmente dalla tabella che ho ricavato:

$P_Z(Z=-1)=0.1$
$P_Z(Z=0)=0.65$
$P_Z(Z=1)=0.25$

d) La distribuzione di probabilità condizionata richiesta è data da:

$P(X=k|Z=1)=\frac{P(X=k,Z=1)}{P(Z=1)}$

Sempre utilizzando la tabella ricavata per $(X,Z)$ otteniamo:

$P(X=-1|Z=1)=0.1/0.25=0.4$
$P(X=0|Z=1)=0$
$P(X=1|Z=1)=0.15/0.25=0.6$

Giusto?

[clrscr]

Perfetto direi