Esercizio densità congiunta
Buongiorno a tutti, ho problemi con un esercizio:
Se X(1) e X(2) sono variabili aleatorie esponenziali indipendenti di media 1, quale tra queste è, a meno di una
costante di proporzionalità, la densità della loro semisomma (o, equivalentemente, media aritmetica), per
x>0?
La soluzione dell'esercizio spiega che bisogna procedere in questo modo:
$P(((X_1+X_2)/2)
So che l'argomento dell'integrale sono $e^(-x_1)$ e $e^(-x_2)$ perché la distribuzione esponenziale è uguale a $
f(x)= e^(-λx)$
Ma non capisco perchè si fa quell'integrale doppio(perchè dobbiamo ottenere una funzione di ripartizione immagino), perchè sono quelli gli estremi di integrazione?
Purtroppo il come trattare le distribuzioni congiunte non mi è affatto chiaro, e sul mio libro c'è per lo più una spiegazione teorica, con pochi esercizi pratici, inoltre anche in rete non ho trovato molto per capire.
E se al posto di $X+Y$ avessimo $X-Y$ o $X/Y$ ? Sarei davvero grato se qualcuno mi aiutasse o magari mi indicasse qualche link o esercizio svolto per capire come ragionare con questo tipo di esercizi.
Grazie mille a tutti!
Se X(1) e X(2) sono variabili aleatorie esponenziali indipendenti di media 1, quale tra queste è, a meno di una
costante di proporzionalità, la densità della loro semisomma (o, equivalentemente, media aritmetica), per
x>0?
La soluzione dell'esercizio spiega che bisogna procedere in questo modo:
$P(((X_1+X_2)/2)
So che l'argomento dell'integrale sono $e^(-x_1)$ e $e^(-x_2)$ perché la distribuzione esponenziale è uguale a $
f(x)= e^(-λx)$
Ma non capisco perchè si fa quell'integrale doppio(perchè dobbiamo ottenere una funzione di ripartizione immagino), perchè sono quelli gli estremi di integrazione?
Purtroppo il come trattare le distribuzioni congiunte non mi è affatto chiaro, e sul mio libro c'è per lo più una spiegazione teorica, con pochi esercizi pratici, inoltre anche in rete non ho trovato molto per capire.
E se al posto di $X+Y$ avessimo $X-Y$ o $X/Y$ ? Sarei davvero grato se qualcuno mi aiutasse o magari mi indicasse qualche link o esercizio svolto per capire come ragionare con questo tipo di esercizi.
Grazie mille a tutti!
Risposte
per risolvere questo tipo di problemi, posto che serve la densità congiunta (e qui ce l'hai perché data l'indipendenza la congiunta è il prodotto) ci sono diversi metodi. I principali sono i seguenti:
1. il metodo della funzione di ripartizione
2. il metodo dello jacobiano.
3. uso di proprietà note.
4. metodo geometrico (in questo caso non applicabile)
Con il metodo della funzione di ripartizione, se la nuova variabile è $Z=g(X,Y)$ la sua CDF è
quindi bisogna fare il disegno del dominio di integrazione e risolvere l'integrale doppio risultante
Con il metodo dello jacobiano trovi direttamente la densità con un cambio di variabili e successiva integrazione della variabile che non interessa.
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METODO 2: il metodo dello jacobiano. Indico le due exp indipendenti con $X,Y$ mentre $Z=(X+Y)/2$ per semplificare la notazione
Impostiamo il seguente sistema
Lo jacobiano risulta $|J|=2$ e quindi il cambio di variabili risulta
Per trovare la densità di Z occorre integrare in $du$; a tal proposito osserviamo che $y=2z-u in[0;+oo)$ il che implica anche $0<=u<=2z$ quindi semplicemente
senza bisogno di controllare la validità della densità trovata, la riscriviamo così:
riconoscendo subito una distribuzione nota:
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
METODO 3: sfruttare le note proprietà della variabile esponenziale e quindi della Gamma, dato che l'esponenziale è un caso particolare di Gamma.
In sostanza essendo $X~\text(Gamma)(1;1)$;$Y~\text(Gamma)(1;1)$ con $X,Y$ indipendenti si ha subito che
$U=X+Y~\text(Gamma)(2;1)$
ed altrettanto immediatamente si ha che
$Z=1/2 U~\text(Gamma)(2;2)$
...e questo senza fare ALCUN conto, ma solo sfruttando proprietà note.
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METODO 1:Il primo metodo è, in questo caso, ma in generale, il più rognoso
Usiamo la definizione di CDF
$F_Z(z)=\mathbb(P)(Z<=z)=\mathbb(P)((X+Y)/2<=z)=\mathbb(P)(Y<=2z-X)$
Facciamo il disegnino
ed integriamo nell'area interessata, quindi
deriviamo per ottenere la densità:
...come ottenuto più facilmente con entrambi gli altri metodi.
Ora hai una panoramica completa dei metodi da utilizzare....ripeto: VANNO SAPUTI TUTTI perché a volte più comodo uno a volte l'altro; a volte uno dei metodi risulta impraticabile. Il metodo dello jacobiano è sicuramente il migliore e più versatile
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Questo libro è assolutamente il top per questo argomento.
Oppure, semplicemente cercando sul forum, troverai centinaia e centinaia di esercizi risolti...ma parliamo veramente di parecchie centinaia che ho risolto nel corso degli anni...basta usare la funzione cerca.
1. il metodo della funzione di ripartizione
2. il metodo dello jacobiano.
3. uso di proprietà note.
4. metodo geometrico (in questo caso non applicabile)
Con il metodo della funzione di ripartizione, se la nuova variabile è $Z=g(X,Y)$ la sua CDF è
$F_Z(z)=int int_{g(X,Y)<=z}f(x,y)dxdy$
quindi bisogna fare il disegno del dominio di integrazione e risolvere l'integrale doppio risultante
Con il metodo dello jacobiano trovi direttamente la densità con un cambio di variabili e successiva integrazione della variabile che non interessa.
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METODO 2: il metodo dello jacobiano. Indico le due exp indipendenti con $X,Y$ mentre $Z=(X+Y)/2$ per semplificare la notazione
Impostiamo il seguente sistema
${{: ( z=(x+y)/2 ),( u=x ) :}rArr{{: ( x=u),( y=2z-u) :} $
Lo jacobiano risulta $|J|=2$ e quindi il cambio di variabili risulta
$f_(UZ)(u,z)=2e^{-u}e^{-(2z-u)}=2e^(-2z)$
Per trovare la densità di Z occorre integrare in $du$; a tal proposito osserviamo che $y=2z-u in[0;+oo)$ il che implica anche $0<=u<=2z$ quindi semplicemente
$f_Z(z)=int_0^(2z)2e^(-2z)du=4ze^(-2z)$
senza bisogno di controllare la validità della densità trovata, la riscriviamo così:
$f_Z(z)=2^2/(Gamma(2))\cdot z^(2-1)e^(-2z)$
riconoscendo subito una distribuzione nota:
$Z~ \text(Gamma)(2;2)$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
METODO 3: sfruttare le note proprietà della variabile esponenziale e quindi della Gamma, dato che l'esponenziale è un caso particolare di Gamma.
In sostanza essendo $X~\text(Gamma)(1;1)$;$Y~\text(Gamma)(1;1)$ con $X,Y$ indipendenti si ha subito che
$U=X+Y~\text(Gamma)(2;1)$
ed altrettanto immediatamente si ha che
$Z=1/2 U~\text(Gamma)(2;2)$
...e questo senza fare ALCUN conto, ma solo sfruttando proprietà note.
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METODO 1:Il primo metodo è, in questo caso, ma in generale, il più rognoso
Usiamo la definizione di CDF
$F_Z(z)=\mathbb(P)(Z<=z)=\mathbb(P)((X+Y)/2<=z)=\mathbb(P)(Y<=2z-X)$
Facciamo il disegnino
ed integriamo nell'area interessata, quindi
$F_Z(z)=int_0^(2z)e^(-x)[ int_0^(2z-x)e^(-y)dy ]dx=...=1-(2z+1)e^(-2z)$
deriviamo per ottenere la densità:
$f_Z(z)=4ze^(-2z)$
...come ottenuto più facilmente con entrambi gli altri metodi.
Ora hai una panoramica completa dei metodi da utilizzare....ripeto: VANNO SAPUTI TUTTI perché a volte più comodo uno a volte l'altro; a volte uno dei metodi risulta impraticabile. Il metodo dello jacobiano è sicuramente il migliore e più versatile
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"maghat":
Sarei davvero grato se qualcuno mi aiutasse o magari mi indicasse qualche link
Questo libro è assolutamente il top per questo argomento.
Oppure, semplicemente cercando sul forum, troverai centinaia e centinaia di esercizi risolti...ma parliamo veramente di parecchie centinaia che ho risolto nel corso degli anni...basta usare la funzione cerca.
Grazie mille davvero per le spiegazioni, per quanto riguarda il metodo dello Jacobiano mi è tutto chiaro e ho chiaro anche quello che sfrutta le proprietà della distribuzione gamma(che devo andare a rivedere...).
Per quanto riguarda il metodo 1, non sono riuscito a capire la parte del disegno(e mi sento stupido per questo!).
Bisogna integrare la $f(x,y)$ in quella parte di piano dove $Y≤2z−X$ e fin qui ci sono, non riesco però a capire come si arrivi a quel disegno... $ Y≤2z−X$ ha 3 variabili, come faccio a disegnarla in un piano a 2 dimensioni?
Lo so che è una domanda banale, ma davvero non riesco a capire: come fa ad essere quella nel disegno la retta $Y=2z−X$, se questa dovrebbe essere si una retta, ma in $R^3$.
Grazie ancora
Per quanto riguarda il metodo 1, non sono riuscito a capire la parte del disegno(e mi sento stupido per questo!).
Bisogna integrare la $f(x,y)$ in quella parte di piano dove $Y≤2z−X$ e fin qui ci sono, non riesco però a capire come si arrivi a quel disegno... $ Y≤2z−X$ ha 3 variabili, come faccio a disegnarla in un piano a 2 dimensioni?
Lo so che è una domanda banale, ma davvero non riesco a capire: come fa ad essere quella nel disegno la retta $Y=2z−X$, se questa dovrebbe essere si una retta, ma in $R^3$.
Grazie ancora
METODO 4: IL METODO GEOMETRICO
ad esempio questo esercizio
L'utente in questione ha postato (e gli ho risolto) decine e decine di esercizi molto molto interessanti quindi puoi fare anche una ricerca sui suoi post
ad esempio questo esercizio
L'utente in questione ha postato (e gli ho risolto) decine e decine di esercizi molto molto interessanti quindi puoi fare anche una ricerca sui suoi post
"tommik":
METODO 4: IL METODO GEOMETRICO
ad esempio questo esercizio
L'utente in questione ha postato (e gli ho risolto) decine e decine di esercizi molto molto interessanti quindi puoi fare anche una ricerca sui suoi post
Studierò anche questo, grazie mille!!!
"maghat":
Grazie mille davvero per le spiegazioni, per quanto riguarda il metodo dello Jacobiano mi è tutto chiaro e ho chiaro anche quello che sfrutta le proprietà della distribuzione gamma(che devo andare a rivedere...).
Per quanto riguarda il metodo 1, non sono riuscito a capire la parte del disegno(e mi sento stupido per questo!).
Bisogna integrare la $f(x,y)$ in quella parte di piano dove $Y≤2z−X$ e fin qui ci sono, non riesco però a capire come si arrivi a quel disegno... $ Y≤2z−X$ ha 3 variabili, come faccio a disegnarla in un piano a 2 dimensioni?
Lo so che è una domanda banale, ma davvero non riesco a capire: come fa ad essere quella nel disegno la retta $Y=2z−X$, se questa dovrebbe essere si una retta, ma in $R^3$.
Grazie ancora
Credo di aver capito finalmente!
z non è una variabile, ma è un segnaposto al quale sostituire il valore per il quale si vuole calcolare la funzione di ripartizione.
In pratica è un paramento, e non una variabile come x e y.
Grazie davvero per l'aiuto! Il disegno e la spiegazione mi sono stati utilissimi!
Grazie ancora
"maghat":
Credo di aver capito finalmente!...
z non è una variabile, ma è un segnaposto al quale sostituire il valore per il quale si vuole calcolare la funzione di ripartizione.
In pratica è un paramento, e non una variabile come X e Y.
Esattamente, infatti è scritto minuscolo
"tommik":
METODO 3: sfruttare le note proprietà della variabile esponenziale e quindi della Gamma, dato che l'esponenziale è un caso particolare di Gamma.
In sostanza essendo $X~\text(Gamma)(1;1)$;$Y~\text(Gamma)(1;1)$ con $X,Y$ indipendenti si ha subito che
$U=X+Y~\text(Gamma)(2;1)$
ed altrettanto immediatamente si ha che
$Z=1/2 U~\text(Gamma)(2;2)$
...e questo senza fare ALCUN conto, ma solo sfruttando proprietà note.
Ultima domanda, promesso...
Stavo rivedendo le proprietà della distribuzione gamma e non sono riuscito a capire questo passaggio:
$Z=1/2 U~\text(Gamma)(2;2)$
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Se $U~\text(Gamma)(2;1)$
E su wikipedia dice :"Se $X$ segue la distribuzione Gamma $X~\text(Gamma)(k;θ)$ allora $Z~a\text(Gamma)(k;θ)$ segue la distribuzione $Z~\text(Gamma)(k;aθ)$, quindi dato che $a=1/2$ dovrebbe venire $Z~\text(Gamma)(2;1/2)$, che è ovviamente il risultato sbagliato, ma non riesco a capire il perchè... Forse mi sono perso qualcosa?
Grazie mille davvero!
Dipende come si parametrizza la gamma. Io ho considerato il secondo 2 come "rate parameter " nel link che hai visto tu usa il 2 come "scale parameter ". Se guardi su Wikipedia in inglese trovi entrambe le parametrizzazioni. Puoi anche usare il teorema fondamentale di trasformazione e calcolarti $Z=1/2U$ e vedere cosa ti esce. In sostanza $ \text(Gamma)(2;2)$ oppure $\text(Gamma)(2;1/2)$ hanno la stessa densità dipende come sono parametrizzate. Diciamo che sono gamma di media 1
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