Esercizio con variabili di Poisson
Ciao a tutti!!!
Mi son trovata a risolvere un esercizio i cui primi punti non mi danno alcun problema, ma l'ultimo, nonostante svariati tentativi, non mi torna per niente. Credo di non stare utilizzando il metodo corretto.
Il problema è il seguente:
Siano X,Y,Z variabili aleatorie indipendenti tutte di legge di Poisson di parametro $\lambda$.
a) qual è la legge condizionale di X dato X+Y=n? Si tratta di una legge nota? Quanto vale la media di questa legge condizionale?
$ P(X=k|X+Y=n)=(P(X=k,Y=n-k))/(P(X+Y=n) $
Per il numeratore abbiamo:
$ P(X=k)*P(Y=n-k)= e^(-\lambda)*\lambda^k/(k!)*e^-\lambda*(\lambda^(n-k)/((n-k)!)) $
$ e^(-2\lambda)*\lambda^n/(k!*(n-k)!) $
Per il denominatore:
$ P(X+Y=n)=e^(-2\lambda)*(2\lambda)^n/(n!) $
Quindi infine:
$ P(X=k|X+Y=n)=(n!)/(k!*(n-k)!)*(1/2)^n $
Da qui notiamo che si tratta di una binomiale B(n,1/2)
È quindi la sua media sarà:
$ E(X=k|X+Y=n)= p= 1/2 $
b) Quanto vale la covarianza delle variabili aleatorie X+Y e X+Z? E il coefficiente di correlazione?
Anche qui nessun problema. Ho risolto in questo modo:
$ Cov(X+Y,X+Z)=Cov(X,X)+Cov(Y,X)+Cov(X,Z)+Cov(Y,Z) $
Essendo X,Y,Z indipendenti e poichè la covarianza tra variabili aleatorie indipendenti è pari a 0 abbiamo
$ Cov(X,X)=Var(X)=\lambda $
Mentre il coefficiente di correlazione sarà:
$ \rho_(X,Y)=(Cov(X+Y,X+Z))/(\sqrt(Var(X+Y)*Var(X+Z)))=\lambda/(2\lambda)=1/2 $
c)Quanto vale la probabilità P(X+Y=2,X+Z=3)?
Questo è il punto dove mi sono bloccata perchè riscontro problemi nel fatto che le somme di queste variabili non sono indipendenti e non so come strutturarlo.
Il risultato corretto è $ e^(-3\lambda)*(\lambda^3/2+\lambda^4/2+\lambda^5/12) $
Grazie in anticipo per l'aiuto!!
Mi son trovata a risolvere un esercizio i cui primi punti non mi danno alcun problema, ma l'ultimo, nonostante svariati tentativi, non mi torna per niente. Credo di non stare utilizzando il metodo corretto.
Il problema è il seguente:
Siano X,Y,Z variabili aleatorie indipendenti tutte di legge di Poisson di parametro $\lambda$.
a) qual è la legge condizionale di X dato X+Y=n? Si tratta di una legge nota? Quanto vale la media di questa legge condizionale?
$ P(X=k|X+Y=n)=(P(X=k,Y=n-k))/(P(X+Y=n) $
Per il numeratore abbiamo:
$ P(X=k)*P(Y=n-k)= e^(-\lambda)*\lambda^k/(k!)*e^-\lambda*(\lambda^(n-k)/((n-k)!)) $
$ e^(-2\lambda)*\lambda^n/(k!*(n-k)!) $
Per il denominatore:
$ P(X+Y=n)=e^(-2\lambda)*(2\lambda)^n/(n!) $
Quindi infine:
$ P(X=k|X+Y=n)=(n!)/(k!*(n-k)!)*(1/2)^n $
Da qui notiamo che si tratta di una binomiale B(n,1/2)
È quindi la sua media sarà:
$ E(X=k|X+Y=n)= p= 1/2 $
b) Quanto vale la covarianza delle variabili aleatorie X+Y e X+Z? E il coefficiente di correlazione?
Anche qui nessun problema. Ho risolto in questo modo:
$ Cov(X+Y,X+Z)=Cov(X,X)+Cov(Y,X)+Cov(X,Z)+Cov(Y,Z) $
Essendo X,Y,Z indipendenti e poichè la covarianza tra variabili aleatorie indipendenti è pari a 0 abbiamo
$ Cov(X,X)=Var(X)=\lambda $
Mentre il coefficiente di correlazione sarà:
$ \rho_(X,Y)=(Cov(X+Y,X+Z))/(\sqrt(Var(X+Y)*Var(X+Z)))=\lambda/(2\lambda)=1/2 $
c)Quanto vale la probabilità P(X+Y=2,X+Z=3)?
Questo è il punto dove mi sono bloccata perchè riscontro problemi nel fatto che le somme di queste variabili non sono indipendenti e non so come strutturarlo.
Il risultato corretto è $ e^(-3\lambda)*(\lambda^3/2+\lambda^4/2+\lambda^5/12) $
Grazie in anticipo per l'aiuto!!
Risposte
mi rifiuto di aiutarti!
[ot]non per cattiveria...ma hai risolto egregiamente tutto....e ti perdi qui
[/ot]
va beh dai....quando vedrai come risolverlo ([strike]non ho fatto i conti[/strike] ho fatto i conti a mente e torna tutto) capirai cosa intendo.
La situazione richiesta si ha nei seguenti casi:
${{: ( X=0 ),( Y=2 ),( Z=3 ) :}$
oppure
${{: ( X=1 ),( Y=1 ),( Z=2 ) :}$
oppure ancora
${{: ( X=2 ),( Y=0 ),( Z=1 ) :}$
i tre casi sono di facile calcolo essendo le variabili indipendenti.....poi li sommi tutti e stop
[ot]non per cattiveria...ma hai risolto egregiamente tutto....e ti perdi qui
[/ot]va beh dai....quando vedrai come risolverlo ([strike]non ho fatto i conti[/strike] ho fatto i conti a mente e torna tutto) capirai cosa intendo.
La situazione richiesta si ha nei seguenti casi:
${{: ( X=0 ),( Y=2 ),( Z=3 ) :}$
oppure
${{: ( X=1 ),( Y=1 ),( Z=2 ) :}$
oppure ancora
${{: ( X=2 ),( Y=0 ),( Z=1 ) :}$
i tre casi sono di facile calcolo essendo le variabili indipendenti.....poi li sommi tutti e stop
Figurati, no problem.
Cavolo è vero, non avevo proprio pensato di utilizzare i vari casi, continuavo a ragionare sulle sole variabili. Nessun problema per i calcoli!!
Grazie infinite e scusa il disturbo, buona giornata
Cavolo è vero, non avevo proprio pensato di utilizzare i vari casi, continuavo a ragionare sulle sole variabili. Nessun problema per i calcoli!!
Grazie infinite e scusa il disturbo, buona giornata
"19Elektra92":
Da qui notiamo che si tratta di una binomiale B(n,1/2)
È quindi la sua media sarà:
$ E(X=k|X+Y=n)= p= 1/2 $
ops...un piccolo errore che a prima vista non avevo notato....la media è $n/2$
Verissimo!! Mi era sfuggito, grazie.
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