Esercizio con v.a. discreta
Ciao a tutti, eccomi di nuovo con un altro esercizio, purtroppo..
Un dado viene lanciato ripetutamente no no a che una faccia precedentemente apparsa compare per la seconda volta. Sia $X$ il numero di lanci necessari a tal
fine.
(a) Dire i possibili valori che può assumere $X$.
(b) Calcolare $P(X > k)$ (Suggerimento: utilizzare il calcolo combinatorio).
(c) Calcolare da densità discreta di $X$.
Sol:
(a) Ci devono essere certamente almeno 2 lanci, e poi al settimo si cominceranno per forza a ripetere i risultati. Quindi l' alfabeto va da 2 a 7.
(b) Qui la cosa si fa più interessante, ho pensato di cominciare con il porre $P(X > k) = 1 - P(X <= k)$, e già qui chiederei conferma su quel $<=$. Il punto è che non c'ho mai fatto caso, ma in effetti per le prob discrete mi sembra ragionevole tale passaggio. Se ad esempio mi chiedessero $P(X > 2)$, vorrebbe dire cercare le soluzioni per $k$ da 3 a 7 che non può coincidere con l' evento certo, ma se ponessi $P(X > 2) = 1 - P(X < 2)$ avrei come risoltato l' evento certo, in quanto $P(X < 2 ) = 0$.
Chiusa questa parentesi torno all' esercizio.
Ragionando con il calcolo combonatorio come suggerito sono giunto a tale conclusione: se voglio (con la prob complementare) che i lanci siano $<=k$ significa che al k-esimo lancio ho sicuramente un evento favevole senza possibilità di scelta, mentre nel primi $k - 1$ lanci può comparire in una posizione qualsiasi, ma ordinata, il valore comparso al k-esimo lancio. Con ordinata intendo che si useranno le distribuzioni, non le combinaizoni, perchè le sequenze
3,5,2,1,5 e 5,3,2,1,5 verificano entrambe la richiesta.
Allora $P(X > k) = 1 - (D(k - 1, 1))/(D(7, 2))$
Con:
$D(k - 1, 1)$ la distribuzione di un oggetto (il numero che al k-esimo lancio verrà ripetuto) in $k - 1$ posizioni
$D(7, 2)$ la distribuzioni di un evento qualsiasi di 2 oggetti e 7 possibili posizioni
Al numeratore non ho tenuto conto del k-esimo lancio, in quanto si tratta di porre un determinato numero in una unica posizione, quindi c'è solo un modo per posizionarlo.
(c) Se il calcolo precedente è giusto, basta sostituire tutti i k da 2 a 7 e farsi i conti.
Che ne dite ?
Un dado viene lanciato ripetutamente no no a che una faccia precedentemente apparsa compare per la seconda volta. Sia $X$ il numero di lanci necessari a tal
fine.
(a) Dire i possibili valori che può assumere $X$.
(b) Calcolare $P(X > k)$ (Suggerimento: utilizzare il calcolo combinatorio).
(c) Calcolare da densità discreta di $X$.
Sol:
(a) Ci devono essere certamente almeno 2 lanci, e poi al settimo si cominceranno per forza a ripetere i risultati. Quindi l' alfabeto va da 2 a 7.
(b) Qui la cosa si fa più interessante, ho pensato di cominciare con il porre $P(X > k) = 1 - P(X <= k)$, e già qui chiederei conferma su quel $<=$. Il punto è che non c'ho mai fatto caso, ma in effetti per le prob discrete mi sembra ragionevole tale passaggio. Se ad esempio mi chiedessero $P(X > 2)$, vorrebbe dire cercare le soluzioni per $k$ da 3 a 7 che non può coincidere con l' evento certo, ma se ponessi $P(X > 2) = 1 - P(X < 2)$ avrei come risoltato l' evento certo, in quanto $P(X < 2 ) = 0$.
Chiusa questa parentesi torno all' esercizio.
Ragionando con il calcolo combonatorio come suggerito sono giunto a tale conclusione: se voglio (con la prob complementare) che i lanci siano $<=k$ significa che al k-esimo lancio ho sicuramente un evento favevole senza possibilità di scelta, mentre nel primi $k - 1$ lanci può comparire in una posizione qualsiasi, ma ordinata, il valore comparso al k-esimo lancio. Con ordinata intendo che si useranno le distribuzioni, non le combinaizoni, perchè le sequenze
3,5,2,1,5 e 5,3,2,1,5 verificano entrambe la richiesta.
Allora $P(X > k) = 1 - (D(k - 1, 1))/(D(7, 2))$
Con:
$D(k - 1, 1)$ la distribuzione di un oggetto (il numero che al k-esimo lancio verrà ripetuto) in $k - 1$ posizioni
$D(7, 2)$ la distribuzioni di un evento qualsiasi di 2 oggetti e 7 possibili posizioni
Al numeratore non ho tenuto conto del k-esimo lancio, in quanto si tratta di porre un determinato numero in una unica posizione, quindi c'è solo un modo per posizionarlo.
(c) Se il calcolo precedente è giusto, basta sostituire tutti i k da 2 a 7 e farsi i conti.
Che ne dite ?
Risposte
"andra_zx":Giusto
(a) Ci devono essere certamente almeno 2 lanci, e poi al settimo si cominceranno per forza a ripetere i risultati. Quindi l' alfabeto va da 2 a 7.
"andra_zx":
$P(X > k) = 1 - P(X <= k)$
La formula è corretta però direi che ti conviene ragionare direttamente su $P(X>k)$
La probabilità $P(X>k)$ che siano necessari più di $k$ lanci è la probabilità che nei primi $k$ lanci non compaia mai lo stesso numero.
Quindi direi che hai $6^k$ casi possibili (disposizioni con ripetizione) e $D_{6,k}$ casi favorevoli (disposizioni semplici).
"andra_zx":
(c) Se il calcolo precedente è giusto, basta sostituire tutti i k da 2 a 7 e farsi i conti.
Qui terrei conto che $P(X=k)=P(X<=k)-P(X<=k-1)$, ovvero l'idea è di calcolare la densità discreta come differenza della funzione di ripartizione.
mmh in effetti il tuo metodo è meno intricato del mio e non fa una piega, proverò a sostituire il mio $D(7,2)$ con $6^k$ che è decisamente sbagliato, e controllerò che i risultati con i 2 metodi coincidano 
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