Esercizio con una variabile indicatrice e una gaussiana?
Sia X una variabile casuale indicatore di parametro p=0,6 e sia Y una variabile casuale gaussiana a media $ mu $ e varianza $ sigma^2 $ . Assumendo che X e Y siano indipendenti, si esplicitino le distribuzioni di X e $ Y^2 $ ; si determini la distribuzione di probabilità congiunta di X e $ Y^2 $ e si calcolino, infine, media, varianza, CDF o pdf della variabile casuale $ Z= X+Y^2 $ .
Per quanto riguarda la variabile X è quella indicatrice di un evento:
$ P(X=x)={ (0.6 |x=1 ),( 0.4|x=0 ):} $
Ma $ Y^2 $ ? E' una chi quadro conb diversi parametri? Poi ovviamente dovrei ricavare media, varianza e coefficiente di correlazione per costruire la distribuzione congiunta... E quel quadrato che mi spaventa
Per quanto riguarda la variabile X è quella indicatrice di un evento:
$ P(X=x)={ (0.6 |x=1 ),( 0.4|x=0 ):} $
Ma $ Y^2 $ ? E' una chi quadro conb diversi parametri? Poi ovviamente dovrei ricavare media, varianza e coefficiente di correlazione per costruire la distribuzione congiunta... E quel quadrato che mi spaventa
Risposte
si tratta di una chi quadro non centralizzata no?
up
continuo per chi volesse aiutarmi. La CDF del quadrato di una variabile aleatoria sarebbe questa:
$ F_Y(y)=[F_x(sqrty)-F_x(-sqrty)]u(y) $ dove u(y) è il gradino di ampiezza unitaria. Poi vabbè, derivando tale espressione ottengo pure la pdf. Ma io non capisco ai fini del mio esercizio a cosa serve. Cioè io devo ricavarmi media e varianza per andarci a scrivere la congiunta.
$ F_Y(y)=[F_x(sqrty)-F_x(-sqrty)]u(y) $ dove u(y) è il gradino di ampiezza unitaria. Poi vabbè, derivando tale espressione ottengo pure la pdf. Ma io non capisco ai fini del mio esercizio a cosa serve. Cioè io devo ricavarmi media e varianza per andarci a scrivere la congiunta.
Vabbè comunque derivando la pdf dovrebbe essere questa: $ 1/(2*sqrt2)[f_x(sqrty)-f_x(-sqrt(y)]u(y) $
Ora essendo le variabili indipendenti potrei dire che la CDF congiunta è il prodotto delle CDF marginali (come avviene nel processo di Bernoulli). Ad ogni modo, nel terzo punto, applicando la linearitè della media dovrei dire che la media della differenza è la differenza delle medie e quindi poi che ci metto alla media di Y quadro?
Ora essendo le variabili indipendenti potrei dire che la CDF congiunta è il prodotto delle CDF marginali (come avviene nel processo di Bernoulli). Ad ogni modo, nel terzo punto, applicando la linearitè della media dovrei dire che la media della differenza è la differenza delle medie e quindi poi che ci metto alla media di Y quadro?
La media devo ricavarla dalla pdf come integrale? E gli estremi di integrazione quali sarebbero? Alla fine non ho alcuna indicazione, so solo che quella non eevata al quadrato ha una certa media e una certa varianza.
Tra l'altro queste sono formule generali, quindi io presuppongo che nel caso di variabili gaussiane ci dovrebbe esser euna semplificazione... o no?
c'entra qualcosa questo esercizio con la chi quadro non centralizzata? Quella alla fine è una distribuzione di cui sono note media e varianza...devo usare quella? Cioè qui davvero non ho idea di come calcolarle...cosa integro? La pdf, ok...e su quali estremi?
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