Esercizio con prove indipendenti
Ciao a tutti, sono uno studente di ingegneria e ho provato a risolvere questo esercizio di probabilità:
" Un giocatore inizia una serie di partite indipendenti nelle quali ad ogni istante vince con probabilità 1/3. Qual è la probabilità che la sua prima vincita avvenga in un istante multiplo di 3? "
Visto che le partite sono equiprobabili, ho pensato che la probabilità che il giocatore vinca dopo $ n $ partite è $ P = (1/3)^n $ e quindi la probabilità che la sua prima vincita avvenga in un istante multiplo di 3 è $ P = sum_{k=1}^{\infty} (1/3)^(3k) = 1/26 $
Ma la soluzione dice che la probabilità che il giocatore vinca all'istante $ n $ è pari a $ 1/3(2/3)^(n-1) $ e quindi la probabilità cercata è $ P = (1/3) sum_{k=1}^{\infty} (2/3)^(3k-1) = 4/19 $ .
Non riesco a capire come mai il giocatore vinca con quella probabilità all'istante $ n $, invece il seguito mi è chiaro. Com'è arrivato a quel risultato?
" Un giocatore inizia una serie di partite indipendenti nelle quali ad ogni istante vince con probabilità 1/3. Qual è la probabilità che la sua prima vincita avvenga in un istante multiplo di 3? "
Visto che le partite sono equiprobabili, ho pensato che la probabilità che il giocatore vinca dopo $ n $ partite è $ P = (1/3)^n $ e quindi la probabilità che la sua prima vincita avvenga in un istante multiplo di 3 è $ P = sum_{k=1}^{\infty} (1/3)^(3k) = 1/26 $
Ma la soluzione dice che la probabilità che il giocatore vinca all'istante $ n $ è pari a $ 1/3(2/3)^(n-1) $ e quindi la probabilità cercata è $ P = (1/3) sum_{k=1}^{\infty} (2/3)^(3k-1) = 4/19 $ .
Non riesco a capire come mai il giocatore vinca con quella probabilità all'istante $ n $, invece il seguito mi è chiaro. Com'è arrivato a quel risultato?
Risposte
Ho pensato di arrivare a quel risultato con la formula delle probabilità totali facendo questo ragionamento. Definisco gli eventi $ E_1 = {"vincere all'istante n"} ; E_2 = {"perdere negli istanti n-1"} $ .
La formula delle probabilità totali generalizzata è:
$ P(E) = sum_{i} P(E|E_i) P(E_i) $
Visto che ogni prova è indipendente dall'altra, allora $ P(E_1|E_2) = 1/3 $ . Poi $ P(E_2) = (2/3)^(n-1) $. Allora dalla formula delle probabilità totali, la probabilità di vincere all'istante $ n $ è:
$ P(E_1) = P(E_1|E_2) P(E_2) = 1/3(2/3)^(n-1) $
E' corretto questo ragionamento che ho fatto?
La formula delle probabilità totali generalizzata è:
$ P(E) = sum_{i} P(E|E_i) P(E_i) $
Visto che ogni prova è indipendente dall'altra, allora $ P(E_1|E_2) = 1/3 $ . Poi $ P(E_2) = (2/3)^(n-1) $. Allora dalla formula delle probabilità totali, la probabilità di vincere all'istante $ n $ è:
$ P(E_1) = P(E_1|E_2) P(E_2) = 1/3(2/3)^(n-1) $
E' corretto questo ragionamento che ho fatto?
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