Esercizio con matrice di covarianza data
Buonasera a tutti, sto sbattendo la testa con questo tipo di esercizi e il mio fedele ross non mi viene in aiuto 
, potete aiutarmi?
2) Siano $X$ e $Y$ due variabili aleatorie Gaussiane, di media, rispettivamente, $E[X]=0$ ed $E[Y]=1$ e matrice di covarianza: \(C = \left( \begin{matrix} 4 & {-1} \\ {-1} & 1 \end{matrix}\right)\) e sia $U = X + Y$:
a) Quale legge segue $U$?
b) Calcolare $P{U > 2}$.
Grazie anticipatamente
p.s so che si dovrebbero fare tentativi di risoluzione, ma non ho proprio idea di come comportarmi perchè questo tipo di esercizi con covarianza già data non l'ho mai visto.
, potete aiutarmi?2) Siano $X$ e $Y$ due variabili aleatorie Gaussiane, di media, rispettivamente, $E[X]=0$ ed $E[Y]=1$ e matrice di covarianza: \(C = \left( \begin{matrix} 4 & {-1} \\ {-1} & 1 \end{matrix}\right)\) e sia $U = X + Y$:
a) Quale legge segue $U$?
b) Calcolare $P{U > 2}$.
Grazie anticipatamente
p.s so che si dovrebbero fare tentativi di risoluzione, ma non ho proprio idea di come comportarmi perchè questo tipo di esercizi con covarianza già data non l'ho mai visto.
Risposte
La somma di due normali è ancora una normale, la cui media è data dalla somma delle medie e la varianza è data, nel caso in cui siano indipendenti, dalla somma delle varianza.
Le tue non sono indipendenti e quindi non so bene come si trovi la varianza, e non ho voglia di fare i calcoli, a senso penso che sia la somma delle varianza meno la covarianza.
Le tue non sono indipendenti e quindi non so bene come si trovi la varianza, e non ho voglia di fare i calcoli
, a senso penso che sia la somma delle varianza meno la covarianza.
grazie però continuo a non capire come si arrivi alla varianza, perciò sono comunque bloccato xD
Suggerimenti?
P.s grazie hamming_burst per la modifica, un giorno imparero a scriverci anch'io così
Suggerimenti?
P.s grazie hamming_burst per la modifica, un giorno imparero a scriverci anch'io così
Vado a braccio, vedo se scrivendo tiro fuori qualcosa:
$Var(U)= Var(X+Y)=E(U-\mu_u)^2=E(X+Y-\mu_x-\mu_y)^2=$
$=E(X-\mu_x)^2+E(Y-\mu_y)^2+2E(X-\mu_x)E(Y-\mu_y)$
L'ultimo termine è pari a 0 quindi
$=E(X-\mu_x)^2+E(Y-\mu_y)^2= Var(X)+Var(Y)$
è semplicemente la somma delle varianze, la covarianza non conta niente a meno che non abbia sbagliato qualche calcolo
$Var(U)= Var(X+Y)=E(U-\mu_u)^2=E(X+Y-\mu_x-\mu_y)^2=$
$=E(X-\mu_x)^2+E(Y-\mu_y)^2+2E(X-\mu_x)E(Y-\mu_y)$
L'ultimo termine è pari a 0 quindi
$=E(X-\mu_x)^2+E(Y-\mu_y)^2= Var(X)+Var(Y)$
è semplicemente la somma delle varianze, la covarianza non conta niente a meno che non abbia sbagliato qualche calcolo
perdonatemi due piccole correzioni "quasi" inutili:
meglio mettere le quadre anche alle varianze singole:
\(=E[(X-\mu_x)^2]+E[(Y-\mu_y)^2]+2E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]\)
la potenza è meglio sottolineare a quale "scope" si riferisce
non dovrebbe esser $0+1$?
per il resto confermo, mi pare sia tutto ok anche per me
Anche perchè si può vedere che le variabili sono abb correlate facendo la verifica con l'indice di correlazione: $\rho_{X,Y} = {Cov(X,Y)}/sqrt(\sigma^2_X \sigma^2_Y) = -1/2$
"Sergio":
\(=E(X-\mu_x)^2+E(Y-\mu_y)^2+2E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]\)
meglio mettere le quadre anche alle varianze singole:
\(=E[(X-\mu_x)^2]+E[(Y-\mu_y)^2]+2E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]\)
la potenza è meglio sottolineare a quale "scope" si riferisce
\(E(U)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0-1=1\)
non dovrebbe esser $0+1$?
per il resto confermo, mi pare sia tutto ok anche per me
Anche perchè si può vedere che le variabili sono abb correlate facendo la verifica con l'indice di correlazione: $\rho_{X,Y} = {Cov(X,Y)}/sqrt(\sigma^2_X \sigma^2_Y) = -1/2$
"Sergio":
[quote="hamming_burst"]per il resto confermo, mi pare sia tutto ok anche per me
Questo mi conforta. L'errore è sempre dietro l'angolo...[/quote]
confermo
ho dei canyon di conoscenze mancanti che mi fanno traballare ogni tanto, ma se i conti tornano in modo naturale perchè dubitare (Occam docet)
"Sergio":
[quote="niandra82"]
$=E(X-\mu_x)^2+E(Y-\mu_y)^2+2E(X-\mu_x)E(Y-\mu_y)$
L'ultimo termine è pari a 0 quindi
$=E(X-\mu_x)^2+E(Y-\mu_y)^2= Var(X)+Var(Y)$
è semplicemente la somma delle varianze, la covarianza non conta niente a meno che non abbia sbagliato qualche calcolo
In effetti, a meno di non sbagliare io, mi pare che un errore ci sia. Credo dovrebbe essere:
\(=E(X-\mu_x)^2+E(Y-\mu_y)^2+2E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]\)
dove l'ultimo termine è appunto il doppio della covarianza ed è pari a $0$ solo se se $X$ e $Y$ sono incorrelate.
Tornando all'esercizio, dalla matrice di covarianza si ha che:
\(\sigma^2_X=4\), \(\sigma^2_Y=1\), \(\sigma_{XY}=\sigma_{YX}=−1\)
Quindi, per la linearità del valore atteso $E(U)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0−1=1$ e, dai calcoli fatti, \(\sigma^2_U=4+1+2(−1)=3\).
In conclusione, e salvo errori, $U\simN(1,3)$.[/quote]
Aspetta scusa, in queste cose sono una chiavica, non ho capito gli ultimi 2 passaggi, cioè dalla matrice di covarianza sei riuscito a ricavare i valori dei vari sigma, ma poi come hai fatto ad arrivare il valore atteso? e non ho capito il significato di U~(N 1,3) e non riesco neanche a capire qual è la legge di U e qual è la P(U>2)
Quindi per legge di U si intende il valore atteso e la varianza?
Grazie mille per avermi delucidato, mi è quasi tutto chiaro, adesso ricontrollo i passaggi più ostici (tipo quello di P(U>2)) e ti faccio sapere se ho problemi.
Grazie mille per avermi delucidato, mi è quasi tutto chiaro, adesso ricontrollo i passaggi più ostici (tipo quello di P(U>2)) e ti faccio sapere se ho problemi.
Penso che sia più o meno tutto chiaro, però vorrei vedere un altro esercizio dove ho avuto qualche difficoltà in più...
X e Y hanno medie 0
Data la matrice di covarianza
C=$[[1,-1],[-1,3]]$
e Z=X-Y+1
Qual è la densità di probabilità congiunta di (X,Z)?
Riguardo al valore atteso e alla varianza devo comportarmi come prima e sommarmi il +1?(quindi mi verrebbe Z=N(1,3)
E poi per la densità di probabilità congiunta applico direttamente la formula?
X e Y hanno medie 0
Data la matrice di covarianza
C=$[[1,-1],[-1,3]]$
e Z=X-Y+1
Qual è la densità di probabilità congiunta di (X,Z)?
Riguardo al valore atteso e alla varianza devo comportarmi come prima e sommarmi il +1?(quindi mi verrebbe Z=N(1,3)
E poi per la densità di probabilità congiunta applico direttamente la formula?
figurati anzi grazie mille per l'aiuto che mi hai concesso fin ora, ma quindi devo solo fare la media + 1 e la covarianza la lascio così com'è?
cioè quindi la cov(X-Y)=Cov(X-Y+1)?
a me la distribuzione di X-Y viene N(0,-4)
Quella di Z quindi sarebbe N(1,-4)?
cioè quindi la cov(X-Y)=Cov(X-Y+1)?
a me la distribuzione di X-Y viene N(0,-4)
Quella di Z quindi sarebbe N(1,-4)?
"MatDido92":
figurati anzi grazie mille per l'aiuto che mi hai concesso fin ora, ma quindi devo solo fare la media + 1 e la covarianza la lascio così com'è?
cioè quindi la cov(X-Y)=Cov(X-Y+1)?
a me la distribuzione di X-Y viene N(0,-4)
Quella di Z quindi sarebbe N(1,-4)?
Due cose per risponderti e per interpretarti l'aiuto di Sergio.
Fissiamo $W=X + (-Y)$
- $E[W + a] = E[W] + a$ con $a$ costante
- $Var(W + a) = Var(W)$
cioè aggiungere una costante si riduce alla modifica solo della media e non delle varianza (vedi la sua definizione...).
Piccola nota:
In alternativa alla strada di Sergio per la scomposizione di $Z$, forse più "macchinosa", puoi vederla come la somma di una gaussiana e una trasformazione lineare gaussiana:
$Z = X - Y + 1 = X + (-Y + 1)$ fissa $W = -Y + 1$ nota che $-Y$ segue la stessa legge di $Y$ per simmetria.
Dovrai calcolarti $Z=X + W$ In questo caso comunque non utilizzi le informazioni della covarianza.
Ok, e da lì alla densita che mi chiede il problema come ci arrivo?
Quindi -Y ha sia stessa varianza e stesso valore atteso di Y?
Quindi -Y ha sia stessa varianza e stesso valore atteso di Y?
vediamo di riassumere le varie proprietà da utilizzare:
1) $E[aW + b] = aE[W] + b$
2) $Var(aW + b) = a^2Var(W)$
3) $Cov(aW,bX) = a*bCov(W,X)$
Perciò considerando $aY=-Y$ con $a=-1$ cioè uno scalare.
- $E[Z] = E[X + (-Y) + 1] = 0 + 0 + 1 = 1$ per 1)
- $Var(Z) = Var(X + (-Y) + 1) = Var(X) + (-1)^2Var(Y) + 2(-1)Cov(X,Y) = 1 + 3 + 2(-1)(-1) = 6$ per 2) e 3)
salvo errori o svarioni, le leggi sono:
$Z \cong \mathcal{N}(1,6)$
$X \cong \mathcal{N}(0,1)$
per la densità congiunta, essendo v.a. ancora correlate (*), è un po' "pallottolosa" la risoluzione. Ci sono vari metodi.
Puoi partire dalla definizione $F_(X,Z)(x,z) = P{X \leq x,Z \leq z}$ ricordandoti l'integrazione e che $Z$ è una trasformazione lineare.
piccolo hint per un metodo: la v.a. congiunta $(X,Z) = (X,X - Y +1)$ è (funzione) lineare a $(X,Y)$.
Se hai dubbi basta scrivere
(*)$Cov(X,X + (-Y) + 1) = Cov(X,X) - Cov(X,Y) = 1 - (-1) = 2$
1) $E[aW + b] = aE[W] + b$
2) $Var(aW + b) = a^2Var(W)$
3) $Cov(aW,bX) = a*bCov(W,X)$
Perciò considerando $aY=-Y$ con $a=-1$ cioè uno scalare.
- $E[Z] = E[X + (-Y) + 1] = 0 + 0 + 1 = 1$ per 1)
- $Var(Z) = Var(X + (-Y) + 1) = Var(X) + (-1)^2Var(Y) + 2(-1)Cov(X,Y) = 1 + 3 + 2(-1)(-1) = 6$ per 2) e 3)
salvo errori o svarioni, le leggi sono:
$Z \cong \mathcal{N}(1,6)$
$X \cong \mathcal{N}(0,1)$
per la densità congiunta, essendo v.a. ancora correlate (*), è un po' "pallottolosa" la risoluzione. Ci sono vari metodi.
Puoi partire dalla definizione $F_(X,Z)(x,z) = P{X \leq x,Z \leq z}$ ricordandoti l'integrazione e che $Z$ è una trasformazione lineare.
piccolo hint per un metodo: la v.a. congiunta $(X,Z) = (X,X - Y +1)$ è (funzione) lineare a $(X,Y)$.
Se hai dubbi basta scrivere
(*)$Cov(X,X + (-Y) + 1) = Cov(X,X) - Cov(X,Y) = 1 - (-1) = 2$
Ma quindi per densità congiunta si intende una legge, o c'è proprio una formula per ricavarla, cioè dal punto che mi hai detto tu
come si va avanti?
"hamming_burst":
per la densità congiunta, essendo v.a. ancora correlate (*), è un po' "pallottolosa" la risoluzione. Ci sono vari metodi.
Puoi partire dalla definizione $F_(X,Z)(x,z) = P{X \leq x,Z \leq z}$ ricordandoti l'integrazione e che $Z$ è una trasformazione lineare.
come si va avanti?
Allora vediamo di riprendere, scusa un po' il ritardo...
bhe certo che è una legge è una variabilie aleatoria $m$-dimensionale (bidimensionale) normale.
la v.a. risultante è l'intersezione degli eventi di $X$ e $Z$. quella che ti ho mostrato è proprio la definizone!
Se fossere v.a. indipendenti potresti calcolarti le densità marginali e trovare la congiunta tramite la moltiplicazione di v.a. (per esser più precisi è la suddivsione tramite Fubini dell'integrale della congiunta, v. definizioni di densità congiunta!!)
allora io mi baso sulla defizione del Teorema di cambio di variabili (Baldi - Teorema 3.21 ed Esempio 3.22), ci calcoliamo direttamente la densità dalla definzione, ricordandoti che le v.a. sono correlate.
In pratica sapendo che $K = (X,Z)$ (sono vettori!) è un'applicazione lineare di $J=(X,Y)$ possiamo calcolarci la densità congiunta di $(X,Y)$ cambiandone poi le variabili utilizzando l'inversa della funzione (di densità di $(X,Y)$)
Prima di tutto notiamo che la nostra trasformazione $T$ è così composta \(T(\mathbf{j}) = T(x,y) = \left(\matrix{{X}\\{X-Y+1}}\right)\)
la possiamo vedere come una composizione lineare secondo un prodotto di matrici \(T(\mathbf{j}) = A\mathbf{j} + \mathbf{b}\) diventa una trasformazione affine
perciò: \(T(x,y) = \left(\matrix{{1}&&{0}\\{1}&&{-1}}\right) \left(\matrix{{x}\\{y}}\right) + \left(\matrix{{0}\\{1}}\right)\)
primo cosa la densità congiunta risultante ce la troviamo con una formula (per le definizioni teoriche ti rimando ad un libro, se hai problemi ne riparliamo):
\[g_k(\mathbf{k}) = \frac{1}{|\text{det(A)}|}f_j(A^{-1}(\mathbf{k} - \mathbf{b}))\]
ci annotiamo (*) (EDIT: sbagliato) $f_k(x,y) = 1/(2\pi)\mathbf{e}^{-(x^2+y^2)/2}$ la densità congiunta di $(X,Y)$
ora basta calcolarci gli operatori in gioco:
- $\text{det}(A) = -1$ perciò $A$ invertibile essendo $\ne 0$
- inversa di $A$ è facilmente visibile che $A=A^-1$
ora componi il tutto e calcola $g_k(x,z)$ in funzione di $f$.
se hai domande scrivi pure (son più le parole teoriche da scrivere che i calcoli in questo caso con due v.a., per questo ti ho proposto questo metodo).
PS: Il procedimento dovrebbe esser corretto, se vedete errori fatemelo notare, grazie!
(*) EDIT
:
quando ho calcolato la densità $f$ mi ero completamente scordato che $X$ e $Y$ non sono indipendenti, anche se lo ho scritto (
) perciò quella densità non funziona per queste distribuzioni, la avevo presa da delle dispense già bella e pronta. La densità congiunta corretta è questa:
$f_k(x,y) = 1/(2\pi\sqrt(3) \sqrt(1-1/3)) \mathbf{e}^{-{x^2 + 2/3\sqrt(3)xy + y^2/3}/{2-2/3)}$
tieni conto che il procedimento dopo è corretto solo cambia la densità originale. Per calcolarla ho utilizzato la definizione. Un metodo lo si trova anche qui ed a dire il vero questo è un altro metodo ulteriore a quello descritto sopra. Infatto puoi calcolarti la matrici di covarianza di $(X,Z)$ senza problemi ed applicare quel metodo direttamente, senza passare per il cambio di variabili.
"MatDido92":
Ma quindi per densità congiunta si intende una legge, o c'è proprio una formula per ricavarla,
bhe certo che è una legge è una variabilie aleatoria $m$-dimensionale (bidimensionale) normale.
cioè dal punto che mi hai detto tu
"hamming_burst":
per la densità congiunta, essendo v.a. ancora correlate (*), è un po' "pallottolosa" la risoluzione. Ci sono vari metodi.
Puoi partire dalla definizione $F_(X,Z)(x,z) = P{X \leq x,Z \leq z}$ ricordandoti l'integrazione e che $Z$ è una trasformazione lineare.
la v.a. risultante è l'intersezione degli eventi di $X$ e $Z$. quella che ti ho mostrato è proprio la definizone!
Se fossere v.a. indipendenti potresti calcolarti le densità marginali e trovare la congiunta tramite la moltiplicazione di v.a. (per esser più precisi è la suddivsione tramite Fubini dell'integrale della congiunta, v. definizioni di densità congiunta!!)
come si va avanti?
allora io mi baso sulla defizione del Teorema di cambio di variabili (Baldi - Teorema 3.21 ed Esempio 3.22), ci calcoliamo direttamente la densità dalla definzione, ricordandoti che le v.a. sono correlate.
In pratica sapendo che $K = (X,Z)$ (sono vettori!) è un'applicazione lineare di $J=(X,Y)$ possiamo calcolarci la densità congiunta di $(X,Y)$ cambiandone poi le variabili utilizzando l'inversa della funzione (di densità di $(X,Y)$)
Prima di tutto notiamo che la nostra trasformazione $T$ è così composta \(T(\mathbf{j}) = T(x,y) = \left(\matrix{{X}\\{X-Y+1}}\right)\)
la possiamo vedere come una composizione lineare secondo un prodotto di matrici \(T(\mathbf{j}) = A\mathbf{j} + \mathbf{b}\) diventa una trasformazione affine
perciò: \(T(x,y) = \left(\matrix{{1}&&{0}\\{1}&&{-1}}\right) \left(\matrix{{x}\\{y}}\right) + \left(\matrix{{0}\\{1}}\right)\)
primo cosa la densità congiunta risultante ce la troviamo con una formula (per le definizioni teoriche ti rimando ad un libro, se hai problemi ne riparliamo):
\[g_k(\mathbf{k}) = \frac{1}{|\text{det(A)}|}f_j(A^{-1}(\mathbf{k} - \mathbf{b}))\]
ci annotiamo (*) (EDIT: sbagliato) $f_k(x,y) = 1/(2\pi)\mathbf{e}^{-(x^2+y^2)/2}$ la densità congiunta di $(X,Y)$
ora basta calcolarci gli operatori in gioco:
- $\text{det}(A) = -1$ perciò $A$ invertibile essendo $\ne 0$
- inversa di $A$ è facilmente visibile che $A=A^-1$
ora componi il tutto e calcola $g_k(x,z)$ in funzione di $f$.
se hai domande scrivi pure (son più le parole teoriche da scrivere che i calcoli in questo caso con due v.a., per questo ti ho proposto questo metodo).
PS: Il procedimento dovrebbe esser corretto, se vedete errori fatemelo notare, grazie!
(*) EDIT
:quando ho calcolato la densità $f$ mi ero completamente scordato che $X$ e $Y$ non sono indipendenti, anche se lo ho scritto (
) perciò quella densità non funziona per queste distribuzioni, la avevo presa da delle dispense già bella e pronta. La densità congiunta corretta è questa: $f_k(x,y) = 1/(2\pi\sqrt(3) \sqrt(1-1/3)) \mathbf{e}^{-{x^2 + 2/3\sqrt(3)xy + y^2/3}/{2-2/3)}$
tieni conto che il procedimento dopo è corretto solo cambia la densità originale. Per calcolarla ho utilizzato la definizione. Un metodo lo si trova anche qui ed a dire il vero questo è un altro metodo ulteriore a quello descritto sopra. Infatto puoi calcolarti la matrici di covarianza di $(X,Z)$ senza problemi ed applicare quel metodo direttamente, senza passare per il cambio di variabili.
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