Esercizio con gaussiana
Buonasera, ho un quesito al quale non riesco a dare la minima risposta.. ho una mezza idea, ma mi pare totalemente fuori strada..
Ho 2 v.a. normali di parametri [tex](0, 1)[/tex], le chiameremo [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex].
Devo trovare [tex]P(X > Y)[/tex].
Ho pensato di tracciare la retta [tex]y = x[/tex] su un piano cartesiano, il sempiano sottostante è [tex]y < x[/tex]. Allora se sovrappongo ad [tex]y = x[/tex] il grafico di una normale standard, la prob richiesta sarà l' intersezione tra il semipiano sottostante a [tex]y = x[/tex] e una parte del grafico della guassiana.
Ciò che mi porta a pensare che sono fuori strada è che dovrei trovare il punto d' intersezione tra i 2 grafici per calcolare la distribuzione.
Mi spiego meglio: i 2 grafici si incontreranno in un punto [tex]c[/tex] di coordinate [tex](x = y = h)[/tex]. L' area del grafico che mi interessa è il triangolino di base ed altezza [tex]h[/tex], più la funzione di distribuzione [tex](1 - \Phi(h))[/tex].
Il problema è proprio trovare il punto [tex]h[/tex], perchè dovrei risolvere: [tex]\frac{1}{\sqrt(2\pi)\sigma}e^{-x^2} = x[/tex]
boh.. evidentemente c'è un metodo più semplice, oppure non ho proprio capito il problema.. che ne dite ?
Grazie a tutti
Ho 2 v.a. normali di parametri [tex](0, 1)[/tex], le chiameremo [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex].
Devo trovare [tex]P(X > Y)[/tex].
Ho pensato di tracciare la retta [tex]y = x[/tex] su un piano cartesiano, il sempiano sottostante è [tex]y < x[/tex]. Allora se sovrappongo ad [tex]y = x[/tex] il grafico di una normale standard, la prob richiesta sarà l' intersezione tra il semipiano sottostante a [tex]y = x[/tex] e una parte del grafico della guassiana.
Ciò che mi porta a pensare che sono fuori strada è che dovrei trovare il punto d' intersezione tra i 2 grafici per calcolare la distribuzione.
Mi spiego meglio: i 2 grafici si incontreranno in un punto [tex]c[/tex] di coordinate [tex](x = y = h)[/tex]. L' area del grafico che mi interessa è il triangolino di base ed altezza [tex]h[/tex], più la funzione di distribuzione [tex](1 - \Phi(h))[/tex].
Il problema è proprio trovare il punto [tex]h[/tex], perchè dovrei risolvere: [tex]\frac{1}{\sqrt(2\pi)\sigma}e^{-x^2} = x[/tex]
boh.. evidentemente c'è un metodo più semplice, oppure non ho proprio capito il problema.. che ne dite ?
Grazie a tutti
Risposte
"andra_zx":
evidentemente c'è un metodo più semplice, oppure non ho proprio capito il problema.. che ne dite ?
Direi più la seconda che hai detto...
ti faccio notare che le due variabili casuali $X$ e $Y$ stanno entrambe sull'asse delle ascisse, mentre sull'asse delle ordinate leggi la corrispondente densità di probabilità.Suggerirei di fare così: $P(X>Y)=P(X-Y>0)$
Se $X$ e $Y$ sono indipendenti allora la variabile $X-Y$ è una normale di media $E[X-Y]=E[X]-E[Y]$ e varianza $Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]$, quindi...
mi sono accorto dell' assurdità che ho scritto poco dopo aver spento il pc
Successivamente avevo più o meno ipotizzato che tale probabilità fosse $1/2$ e pare confermato dai tuoi suggerimenti visto che mi trovo una normale (0,2).
Ne approfitto per sviluppare un attimo questa cosa e vedere se ho capito. Se dovessi calcolare: $P(X > Y + 0,5)$, avrei di nuovo la v.a. $Z = X - Y$ di paramentri (0,2). Per fare il calcolo dovrei standardizzare tale gaussiana ponendo: $P(Z/\sigma > (0,5)/\sigma)$ cioè $1 - \phi((0,5)/\sqrt(2))$.
Giusto ?
Successivamente avevo più o meno ipotizzato che tale probabilità fosse $1/2$ e pare confermato dai tuoi suggerimenti visto che mi trovo una normale (0,2).
Ne approfitto per sviluppare un attimo questa cosa e vedere se ho capito. Se dovessi calcolare: $P(X > Y + 0,5)$, avrei di nuovo la v.a. $Z = X - Y$ di paramentri (0,2). Per fare il calcolo dovrei standardizzare tale gaussiana ponendo: $P(Z/\sigma > (0,5)/\sigma)$ cioè $1 - \phi((0,5)/\sqrt(2))$.
Giusto ?
Si ma pare tu abbia capito.
Riguardo a quello che dicevi prima ti faccio notare che la v.a. doppia $(X,Y)$ si distribuisce nel piano cartesiano. La sua densità è una funzione da questo piano ($RR^2$) in $R$ e quindi la densità del vettore è in una terza dimensione. La probabilità che cerchi è un dunque il volume compreso tra la densità ed il piano x,y nella regione (del piano stesso) x>y.
Piccolo esercizio per chi vuole:
Dato un vettore bidimensionale normale standard (per chi non lo sapesse sto dicendo X,Y normali standard indipendenti).
Trovare la probabilità che $X^2+Y^2$ sia compreso tra $l$ e $L$ entrambi positivi.
Quanto vale la probabiità che $X^2-Y^2>0$ ?
Riguardo a quello che dicevi prima ti faccio notare che la v.a. doppia $(X,Y)$ si distribuisce nel piano cartesiano. La sua densità è una funzione da questo piano ($RR^2$) in $R$ e quindi la densità del vettore è in una terza dimensione. La probabilità che cerchi è un dunque il volume compreso tra la densità ed il piano x,y nella regione (del piano stesso) x>y.
Piccolo esercizio per chi vuole:
Dato un vettore bidimensionale normale standard (per chi non lo sapesse sto dicendo X,Y normali standard indipendenti).
Trovare la probabilità che $X^2+Y^2$ sia compreso tra $l$ e $L$ entrambi positivi.
Quanto vale la probabiità che $X^2-Y^2>0$ ?
Ho pensato un pò alle tue 2 domande. Inizialmente ho cercato di capire quali fossero la media e la verianza di una "gaussiana al quadrato", ma guardando bene direi che tale trasformazione non manda nemmeno in un altra gaussiana (essendo l' elevamento a potenza una trasf. non lineare). Poi curiosando su wikipedia ho visto che la di gaussiane al quadrato prende il nome "chi quadro" . Sinceramente non è mai stata nominata durante il corso, anche se ogni tanto mi è capitato di sentirla nominare, ma avendolo chiamato "piccolo esercizio" dubito che serva andare a parare su queste cose..
"DajeForte":
Trovare la probabilità che $X^2+Y^2$ sia compreso tra $l$ e $L$ entrambi positivi.
Quanto vale la probabiità che $X^2-Y^2>0$ ?
Ci provo, spero di non scrivere troppe boiate.
Quanto al primo, non vedo altra strada se non sfruttare che $X^2+Y^2$ è distribuita come una $\chi^2$ con $\nu=2$ gdl.
Quindi l'esercizio sta nel fare la differenza della funzione di ripartizione... dovrebbe venire $e^(-l/2)-e^(-L/2)=1/sqrt(e^l)-1/sqrt(e^L)$
Per il secondo che hai proposto direi che $X^2-Y^2>0$ e $Y^2-X^2>0$ sono una partizione dello spazio campionario (salvo l'evento quasi impossibile $X^2-Y^2=0$)
quindi $P(X^2-Y^2>0)+P(Y^2-X^2>0)=1.
Inoltre scambiando il "ruolo" di $X$ e $Y$, non mi aspetto cambiamenti nella probabilità.. direi per "simmetria"
..Da cui $P(X^2-Y^2>0)=1/2$
Credo tuttavia che questa argomentazione sia alquanto debole..
"cenzo":
Credo tuttavia che questa argomentazione sia alquanto debole..
No no è giusto. segue direttamente da $X^2-Y^2 \sim Y^2-X^2$ e quindi la prob che siano maggiori di zero è uguale. Poi giustamente partizione di $Omega$.
Per il primo notare che è anche esponenziale. Per chi vuole questo un passaggio dell'algoritmo di Box Muller per generare normali da uniformi.
@andrea: questo primo esercizio era un invito a ragionare e visualizzare come lavora una variabile doppia.
Nel piano (x,y) hai il dominio dove si la r.v. prende valori la sua densità è nell'asse z.
Il mio scopo era cercarti di farti ragionare su questo (e lo rinnovo): quello che chiedevo era il voume tra la densità ed il piano (x,y)
limitato ad una corona circolare. Questo poi diventa facile per la normale standard perchè i cerchi sono loe curve di livello della densita.
"DajeForte":
No no è giusto. segue direttamente da $X^2-Y^2 \sim Y^2-X^2$ e quindi la prob che siano maggiori di zero è uguale. Poi giustamente partizione di $Omega$.
Bene! Grazie
"DajeForte":
il voume tra la densità ed il piano (x,y) limitato ad una corona circolare. Questo poi diventa facile per la normale standard perchè i cerchi sono loe curve di livello della densita.
Quindi si può pervenire allo stesso risultato con l'integrale $\int\int_{l<=x^2+y^2<=L} f_{X,Y}(x,y)dxdy$.. giusto ?
certo. classico esercizio di coordinate polari.
prova e fai la sostituzione x=p cos(x); y=p sin(x);
cambia variabile (ricorda lo Jacobiano) e l'integrale è immediato.
prova e fai la sostituzione x=p cos(x); y=p sin(x);
cambia variabile (ricorda lo Jacobiano) e l'integrale è immediato.
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