Esercizio con funzione di densità di probabilità congiunta

[AleDena]

Buonasera, mi trovo in difficoltà con questo esercizio, in particolare con il punto (b).
I punti (a) e (c) mi sono chiari, si tratta di applicare banalmente delle formule, tuttavia i risultati mi sembrano strani, forse sbaglio il dominio negli integrali delle densità congiunte.
Grazie in anticipo

[feddy]

Ciao, benvenuto nel forum. (Qui il [regolamento]regolamento1[/regolamento]). In particolare, sarebbe meglio postare gli esercizi usando le formula in latex, altrimenti quando il link dell'immagine si romperà, il post rimarrà senza esercizio e non risulterà comprensibile

Per quanto riguarda l'esercizio, posta pure i conti che hai fatto e, in particolare, dicci cosa non ti torna

[AleDena]

Okay grazie mille per il chiarimento, qui di seguito dunque riporto l'esercizio e come io ho provato a risolverlo:

Date due v.c. X e Y con funzione di densità di probabilità congiunta

f X,Y(x,y) = { e^(-x) 2ye^(-y)^(2) se x>0, y>0 ,
0 altrimenti .

a) X e Y sono indipendenti? Giustifica la risposta.
b) Si calcoli P(X≤1∩Y≤2).
c) Si trovi la densità condizionata fY|X(y|1).

Inanzitutto, per rispondere al punto (a) sono andato a calcolare le densità marginali g(x) ed h(y). Qua potrei aver sbagliato, perchè in entrambe ho messo il dominio dell'integrale che va da 0 a +∞, ottenendo quindi g(x)= e^-x mentre h(y)= 2ye^(-y)^(2). Andandoli a moltiplicare dunque ottengo lo stesso risultato di fX,Y(x,y) e ne deduco che X e Y siano indipendenti.

Al punto (b) non ho idea di come poter procedere...

Al punto (c) non ho fatto altro che usare la formula per il calcolo della densità condizionata, quindi
fY|X(y|1)=[e^(-x) 2ye^(-y)^(2)]/[e^-x] = 2ye^(-y)^(2)

Anche qui il risultato mi sembra esser sbagliato, avrebbe senso se X e Y fossero indipendenti, ma credo di aver fatto già un errore ad inizio esercizio.

Grazie a chiunque sarà d'aiuto


P.S. Ho provato a scrivere le formule in Latex ma non ne sono stato in grado, spero possiate perdonarmi per questa volta e prometto di imparare ad usarlo e ad applicarlo per esigenze future

[cooper1]

"AleDena":Inanzitutto, per rispondere al punto (a) sono andato a calcolare le densità marginali g(x) ed h(y). Qua potrei aver sbagliato, perchè in entrambe ho messo il dominio dell'integrale che va da 0 a +∞, ottenendo quindi g(x)= e^-x mentre h(y)= 2ye^(-y)^(2). Andandoli a moltiplicare dunque ottengo lo stesso risultato di fX,Y(x,y) e ne deduco che X e Y siano indipendenti.

corretto. anche se potevi concludere più velocemente notando che la densità congiunta si fattorizzava nel prodotto di una ssola funzione di x ed una sola funzione di y.

"AleDena":Al punto (c) non ho fatto altro che usare la formula per il calcolo della densità condizionata, quindi
fY|X(y|1)=[e^(-x) 2ye^(-y)^(2)]/[e^-x] = 2ye^(-y)^(2)

Anche qui il risultato mi sembra esser sbagliato, avrebbe senso se X e Y fossero indipendenti, ma credo di aver fatto già un errore ad inizio esercizio.

anche questo mi sembra corretto, per altro è coerente col punto a.

per il punto b), sapendo che le v.a. sono indipendenti, puoi fattorizzare le probabilità e notare che $X ~ \text{Exp}(1)$ e $Y ~ \chi^2 (2)$. oppure usando le marginali ti calcoli quelle probabilità.