Esercizio con eventi
Buonasera. Propongo questo esercizio:
Si considerino 3 eventi $A ,B ,C $ e sia $P(A),P(B),P(C)$ un`assegnazione di probabilità coerente. Calcolare
$P(AVBVC) $ e
$P(A'|A'VB') $
, nell'ipotesi che i 3 eventi siano stocasticamente indipendenti.
Ora io sono poco pratico nella teoria. Ma so che essendo stocasticamente indipendenti , allora :
$P(A V B V C) = 1 -P(A ^ B ^ C)= 1- P(A)P(B)P(C) $
Non so muovermi bene sulla seconda richiesta ma a logica (spero di non sbagliare):
$P(A'|A' V B') = P(B ^ C| C) $
Non saprei cosa calcolare visto che il testo non riporta alcun valore. Penso sia più un'applicazione teorica.
Grazie in anticipo!
P.S.: non so perchè non mi aggiorna il testo con le funzioni.
Si considerino 3 eventi $A ,B ,C $ e sia $P(A),P(B),P(C)$ un`assegnazione di probabilità coerente. Calcolare
$P(AVBVC) $ e
$P(A'|A'VB') $
, nell'ipotesi che i 3 eventi siano stocasticamente indipendenti.
Ora io sono poco pratico nella teoria. Ma so che essendo stocasticamente indipendenti , allora :
$P(A V B V C) = 1 -P(A ^ B ^ C)= 1- P(A)P(B)P(C) $
Non so muovermi bene sulla seconda richiesta ma a logica (spero di non sbagliare):
$P(A'|A' V B') = P(B ^ C| C) $
Non saprei cosa calcolare visto che il testo non riporta alcun valore. Penso sia più un'applicazione teorica.
Grazie in anticipo!
P.S.: non so perchè non mi aggiorna il testo con le funzioni.
Risposte
Il fatto che gli eventi siano indipendenti ti permette di scrivere queste uguaglianze:
$P(A\capB\capC)=P(A)P(B)P(C)$
$P(A\capB)=P(A)P(B)$
$P(A\capC)=P(A)P(C)$
$P(B\capC)=P(B)P(C)$
Quello che suppongo l'esercizio ti chieda di fare è scrivere il risultato utilizzando solamente i tre dati disponibili $P(A)$, $P(B)$ e $P(C)$ e per poterlo fare a un certo punto devi necessariamente usare le uguaglianze ricavate dall'indipendenza.
$P(A\capB\capC)=P(A)P(B)P(C)$
$P(A\capB)=P(A)P(B)$
$P(A\capC)=P(A)P(C)$
$P(B\capC)=P(B)P(C)$
Quello che suppongo l'esercizio ti chieda di fare è scrivere il risultato utilizzando solamente i tre dati disponibili $P(A)$, $P(B)$ e $P(C)$ e per poterlo fare a un certo punto devi necessariamente usare le uguaglianze ricavate dall'indipendenza.
Grazie per la risposta. Si le uguaglianze dell'indipendenza le avevo già guardate! La seconda probabilità mi lascia dei dubbi . Però ora do uno sguardo.
Ciao Diploz!
... ti faccio notare che questo esercizio (se ti ricordi bene) lo abbiamo già risolto l'altra volta...quando ti ho indicato come calcolare la probabilità dell'unione di più eventi. Nel tuo esempio sono indipendenti, quindi ti basta sostituire la probabilità dell'intersezione con il prodotto delle probabilità. Non ti metto la soluzione corretta dato che, una volta letto il mio post, avrai capito da solo l'errore commesso....
Per il secondo, se ho capito bene il problema:
$P[bar(A)|bar(A) uu bar(B)]$
Ripassa la prima legge di De Morgan, poi osservi che, evidentemente $bar(A) sube (bar (A) uu bar(B))$
e quindi ottieni $(1-p(A))/(1-p(A)p(B))$
PS: l'utilizzo della prima legge di De Morgan non è obbligatorio ma semplifica il calcolo..alternativamente puoi fare tutti i conti così:
$p(bar(A) uu bar(B))=1-p(A)+1-p(B)-[1-p(A)][1-p(B)]=...=1-p(A)p(B)$
come tu sia riuscito ad inserire anche l'evento C quando l'insieme non compare nemmeno nella domanda mi rimane un mistero....
Come no? riporta $p(A)$, $p(B)$ e $p(C)$ e ti dice che sono assegnazioni coerenti ad eventi indipendenti...quindi devi arrivare ad una formula ben definita come risultato...che sarà in funzione dei valori di probabilità che si possono assegnare agli eventi
ciao ciao
"Diploz":
Ora io sono poco pratico nella teoria. Ma so che essendo stocasticamente indipendenti , allora :
$P(A V B V C)= 1- P(A)P(B)P(C) $
... ti faccio notare che questo esercizio (se ti ricordi bene) lo abbiamo già risolto l'altra volta...quando ti ho indicato come calcolare la probabilità dell'unione di più eventi. Nel tuo esempio sono indipendenti, quindi ti basta sostituire la probabilità dell'intersezione con il prodotto delle probabilità. Non ti metto la soluzione corretta dato che, una volta letto il mio post, avrai capito da solo l'errore commesso....
Per il secondo, se ho capito bene il problema:
$P[bar(A)|bar(A) uu bar(B)]$
Ripassa la prima legge di De Morgan, poi osservi che, evidentemente $bar(A) sube (bar (A) uu bar(B))$
e quindi ottieni $(1-p(A))/(1-p(A)p(B))$
PS: l'utilizzo della prima legge di De Morgan non è obbligatorio ma semplifica il calcolo..alternativamente puoi fare tutti i conti così:
$p(bar(A) uu bar(B))=1-p(A)+1-p(B)-[1-p(A)][1-p(B)]=...=1-p(A)p(B)$
come tu sia riuscito ad inserire anche l'evento C quando l'insieme non compare nemmeno nella domanda mi rimane un mistero....
"Diploz":
Non saprei cosa calcolare visto che il testo non riporta alcun valore.
Come no? riporta $p(A)$, $p(B)$ e $p(C)$ e ti dice che sono assegnazioni coerenti ad eventi indipendenti...quindi devi arrivare ad una formula ben definita come risultato...che sarà in funzione dei valori di probabilità che si possono assegnare agli eventi
ciao ciao
Ciao tommik grazie per la risposta. Ricordo l`esercizio dell'altra volta. Lasciamo perdere la C XD.
Allora per le regole della probabilità so che :
1- $ P(E)>= 0 $ , per ogni evento $ E $
2- $ P(\Omega)=1 $
3- Se $ AB = 0 $ , allora $ P(AVB)=P(A)+P(B) $
Sappiamo che gli eventi sono stocasticamente indipendenti. Perciò $ AB != 0 $ . Abbiamo , nello spazio omega, in questo caso ,
$ A' ^ B' ^ C' = Ci $ Cioè la probabilità che nessuno degli eventi sopra si verifichi. Quindi a P(A) ,P(B) , P(C) posso assegnare il valore = $ 1/4 $ . Mi sto sbagliando?
Allora per le regole della probabilità so che :
1- $ P(E)>= 0 $ , per ogni evento $ E $
2- $ P(\Omega)=1 $
3- Se $ AB = 0 $ , allora $ P(AVB)=P(A)+P(B) $
Sappiamo che gli eventi sono stocasticamente indipendenti. Perciò $ AB != 0 $ . Abbiamo , nello spazio omega, in questo caso ,
$ A' ^ B' ^ C' = Ci $ Cioè la probabilità che nessuno degli eventi sopra si verifichi. Quindi a P(A) ,P(B) , P(C) posso assegnare il valore = $ 1/4 $ . Mi sto sbagliando?
non ho capito nulla....forse anche perché non riesco a leggere le formule...
coumunque no, non puoi trasformare in numero le probabilità assegnate. Sai solo che le assegnazioni sono coerenti...tutto qui.
Per cui
$p(A uu B uu C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(A)p(B)-p(A)p(C)-p(B)p(C)+p(A)p(B)p(C)$
coumunque no, non puoi trasformare in numero le probabilità assegnate. Sai solo che le assegnazioni sono coerenti...tutto qui.
Per cui
$p(A uu B uu C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(A)p(B)-p(A)p(C)-p(B)p(C)+p(A)p(B)p(C)$
Perdonami ma non capisco perchè non compila le formule che scrivo. Do una bella ripassata alle leggi di De Morgan! Come sempre, ti ringrazio per la pazienza!
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