Esercizio con approssimazione a normale
La probabilità di contrarre la varicella entro i 10 anni è P=0,73.
Calcolare la probabilità che in un campione di 200 bambini ce ne siano almeno 150 che hanno la stessa malattia.
Io so che la binomiale ha forma Media: $ np $ e Varianza: $ np(1-p)/n $
Ma a volte si usa l'approssimazione alla normale con Media: $ p $ e Varianza: $ p(1-p)/n $
Mi potete spiegare come si svolge questo esercizio e in generale quando utilizzare una forma,e quando l'altra.Il nostro professore ci diceva che con un campione si usa la seconda forma da me precedentemente elencata.
Calcolare la probabilità che in un campione di 200 bambini ce ne siano almeno 150 che hanno la stessa malattia.
Io so che la binomiale ha forma Media: $ np $ e Varianza: $ np(1-p)/n $
Ma a volte si usa l'approssimazione alla normale con Media: $ p $ e Varianza: $ p(1-p)/n $
Mi potete spiegare come si svolge questo esercizio e in generale quando utilizzare una forma,e quando l'altra.Il nostro professore ci diceva che con un campione si usa la seconda forma da me precedentemente elencata.
Risposte
Quando il campione è sufficientemente grande si può usare il teorema del limite centrale che semplifica di molto i calcoli.
Anche qui, con il tasto cerca, troverai numerosi esempi svolti e commentati (molti da me).
Nel caso della binomiale $n $ è sufficientemente grande quando $np>=5$
Per quanto riguarda l"esercizio sei tu che devi proporre una bozza di soluzione, come da regolamento (e come già ti ho detto nell'altro topic)
Inoltre ricorda che:
1) se vuoi avere aiuti è fortemente consigliato scrivere le formule con l'apposito compilatore oppure in formato LaTex
2) topic senza bozza di soluzione o domande specifiche vengono chiusi
Anche qui, con il tasto cerca, troverai numerosi esempi svolti e commentati (molti da me).
Nel caso della binomiale $n $ è sufficientemente grande quando $np>=5$
Per quanto riguarda l"esercizio sei tu che devi proporre una bozza di soluzione, come da regolamento (e come già ti ho detto nell'altro topic)
Inoltre ricorda che:
1) se vuoi avere aiuti è fortemente consigliato scrivere le formule con l'apposito compilatore oppure in formato LaTex
2) topic senza bozza di soluzione o domande specifiche vengono chiusi
Si scusa hai ragione,
io inizialmente ho posto P=150/200=0,75 e Varianza =0,75(1-075)/200
$ P(z> (0,75-0,73)/(0,0306) )= 0,65 $ e quindi una probabilità del [strike]74,21%[/strike] 25,79%
In un secondo momento mi è sorto il dubbio sulla correttezza di questo procedimento.
(mi scuso per la domanda,mi sembra una domanda molto scema,ma purtroppo il nostro professore non è stato molto chiaro a riguardo.)
io inizialmente ho posto P=150/200=0,75 e Varianza =0,75(1-075)/200
$ P(z> (0,75-0,73)/(0,0306) )= 0,65 $ e quindi una probabilità del [strike]74,21%[/strike] 25,79%
In un secondo momento mi è sorto il dubbio sulla correttezza di questo procedimento.
(mi scuso per la domanda,mi sembra una domanda molto scema,ma purtroppo il nostro professore non è stato molto chiaro a riguardo.)
Ma potevo risolvere anche con il teorema del limite centrale?I risultati mi vengono simili.
Quello che hai utilizzato È il TCL ma ci sono diversi errori:
1) la formula corretta
$P (z>=(150-200\cdot0.73)/sqrt (0.73\cdot0.27\cdot200))=P (z>=0,637)~~0.26$
Oppure
$P (z>=(0,75-0,73)/sqrt (0,73\cdot0.27) sqrt (200)) $
porta ad avere $P (z>=0,637)~~0.26$
Tu hai confuso la media del campione con la media della popolazione; inoltre hai sbagliato a consultare le tavole
2) l'approssimazione in questione può essere migliorata utilizzando un opportuno fattore di correzione (ma non so se lo avete fatto). In caso affermativo puoi consultare i numerosi esempi già presenti sul forum. Se proprio non riesci domani ti posto un esempio di come trovare un'approssimazione migliore...
1) la formula corretta
$P (z>=(150-200\cdot0.73)/sqrt (0.73\cdot0.27\cdot200))=P (z>=0,637)~~0.26$
Oppure
$P (z>=(0,75-0,73)/sqrt (0,73\cdot0.27) sqrt (200)) $
porta ad avere $P (z>=0,637)~~0.26$
Tu hai confuso la media del campione con la media della popolazione; inoltre hai sbagliato a consultare le tavole
2) l'approssimazione in questione può essere migliorata utilizzando un opportuno fattore di correzione (ma non so se lo avete fatto). In caso affermativo puoi consultare i numerosi esempi già presenti sul forum. Se proprio non riesci domani ti posto un esempio di come trovare un'approssimazione migliore...
Il secondo metodo da me provato è stato di porre
Media: $ np = 146 $ e Varianza : $ np(1-p)=39,42 $
$ p(z>(150-146)/root(2)((39.42))) =0,637 $
Ottenendo così un risultato simile a prima.Se è possibile vorrei un chiarimento sui due diversi approcci.
(Ho apportato le modifiche,spero di essere chiaro ora)
Media: $ np = 146 $ e Varianza : $ np(1-p)=39,42 $
$ p(z>(150-146)/root(2)((39.42))) =0,637 $
Ottenendo così un risultato simile a prima.Se è possibile vorrei un chiarimento sui due diversi approcci.
(Ho apportato le modifiche,spero di essere chiaro ora)
Questo è corretto ma hai fatto un altro errore 
Non viene $0,637$ Ma $P (z>=0,637) $
Voglio farti notare che il metodo precedente ha un errore concettuale piuttosto grave ma, casualmente, porta ad avere un risultato molto simile a quello corretto.
Nel post precedente ti ho messo i calcoli del TCL in entrambe le versioni che, come puoi notare, sono equivalenti (infatti basta dividere numeratore e denominatore per 200). Prima di affrontare il problema del fattore di correzione potresti calcolare (ad es con Excel) il valore "vero" di tale probabilità con la binomiale...cosi risparmio tempo
Non viene $0,637$ Ma $P (z>=0,637) $
Voglio farti notare che il metodo precedente ha un errore concettuale piuttosto grave ma, casualmente, porta ad avere un risultato molto simile a quello corretto.
Nel post precedente ti ho messo i calcoli del TCL in entrambe le versioni che, come puoi notare, sono equivalenti (infatti basta dividere numeratore e denominatore per 200). Prima di affrontare il problema del fattore di correzione potresti calcolare (ad es con Excel) il valore "vero" di tale probabilità con la binomiale...cosi risparmio tempo
Si nella foga ho saltato la scrittura $ P(z>0,637)=0,26 $
L'errore concettuale sarebbe quello di confondere media campionaria con media della popolazione?
L'errore concettuale sarebbe quello di confondere media campionaria con media della popolazione?
Yes. Ora prova a considerare il testo che dice "almeno 150" quindi ovviamente è $P (x>=150) $
Come puoi immaginare, dato che la binomiale è discreta questa probabilità può essere sensibilmente diversa da $P (x>150) $
Il valore più corretto dell'approssimazione Si trova facendo $P (x>149.5) $
Come puoi immaginare, dato che la binomiale è discreta questa probabilità può essere sensibilmente diversa da $P (x>150) $
Il valore più corretto dell'approssimazione Si trova facendo $P (x>149.5) $
Correggimi se sbaglio ma la campionaria non dovrebbe essere $ p $ con varianza $ (p(1-p))/n $ ?
Mi sembrava il caso di usarla dato che si prende un campione
(grazie per la pazienza che hai
)
Mi sembrava il caso di usarla dato che si prende un campione
(grazie per la pazienza che hai
)
"tommik":
1) la formula corretta
$P (z>=(150-200\cdot0.73)/sqrt (0.73\cdot0.27\cdot200))=P (z>=0,637)~~0.26$
Oppure
$P (z>=(0,75-0,73)/sqrt (0,73\cdot0.27) sqrt (200)) $
porta ad avere $P (z>=0,637)~~0.26$
Riferito al problema da me riportato quindi sono ugualmente utilizzabili questi due passaggi?O ci sono errori concettuali?
riprendendo l'esercizio in questione ecco tutta la distribuzione binomiale con $n=200$ e $pi=0.73$
come vedi (basta fare le somme dei valori in rosso) la probabilità "esatta" è
$P(X>=150)~~29.16%$
sensibilmente diversa dall'approssimazione di circa $26%$ che trovi con il limite centrale MA, utlilizzando opportunamente il fattore di correzione per popolazioni finite, otteniamo che
$P(X>=150)=P(Z>=(149.5-200\cdot0.73)/sqrt(200\cdot0.73\cdot0.27))=P(Z>=0.557)~~28.86%$
che è una approssimazione decisamente migliore della prima...
spero che ora il problema ti sia più chiaro
saluti
(fammi sapere)
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
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come vedi (basta fare le somme dei valori in rosso) la probabilità "esatta" è
$P(X>=150)~~29.16%$
sensibilmente diversa dall'approssimazione di circa $26%$ che trovi con il limite centrale MA, utlilizzando opportunamente il fattore di correzione per popolazioni finite, otteniamo che
$P(X>=150)=P(Z>=(149.5-200\cdot0.73)/sqrt(200\cdot0.73\cdot0.27))=P(Z>=0.557)~~28.86%$
che è una approssimazione decisamente migliore della prima...
spero che ora il problema ti sia più chiaro
saluti
(fammi sapere)
Grazie per la spiegazione,purtroppo il fattore di correzione non l'abbiamo affrontato.Mi sei stato di grande aiuto,i dubbi rimanenti cercherò di risolverli con gli esempi sul forum.
Grazie
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