Esercizio compleanni
In una stanza ci sono n persone. Qual è la probabilità che almeno 2 di esse
festeggino il compleanno lo stesso giorno? Rispondere considerando sempre un anno composto
da 365 giorni.
IL mio ragionamento è:
la probabilità di prendere un compleanno in 365 giorni è $n/365$ se ne devo prendere due allora sarà $n/365$ *$n/365$
é giusto?
festeggino il compleanno lo stesso giorno? Rispondere considerando sempre un anno composto
da 365 giorni.
IL mio ragionamento è:
la probabilità di prendere un compleanno in 365 giorni è $n/365$ se ne devo prendere due allora sarà $n/365$ *$n/365$
é giusto?
Risposte
Ciao,
un problema classico.
non mi pare proprio che la probabilità per una singola persona possa esser legata al numero totale di persone (hai già trattao lo spazio di probabilità?)
Invece ogni persona ha probabilita $1/365$ di nascere in un qualsiasi giorno dell'anno, perciò siamo in uno spazio uniforme, cioè scelte equiprobabili.
Per risolvere il problema devi leggere bene il testo, ti si chiede:
il ragionamento è più semplice se si riscivere il problema:
prova a pensare questa versione è molto più facile, suggerimento: uno è il complementare dell'altro.
un problema classico.
"FELPONE":
IL mio ragionamento è:
la probabilità di prendere un compleanno in 365 giorni è $n/365$
non mi pare proprio che la probabilità per una singola persona possa esser legata al numero totale di persone (hai già trattao lo spazio di probabilità?)
Invece ogni persona ha probabilita $1/365$ di nascere in un qualsiasi giorno dell'anno, perciò siamo in uno spazio uniforme, cioè scelte equiprobabili.
Per risolvere il problema devi leggere bene il testo, ti si chiede:
Qual è la probabilità che almeno 2 di esse festeggino il compleanno lo stesso giorno?
il ragionamento è più semplice se si riscivere il problema:
Qual è la probabilità che tutti abbiano il compleanno in un giorno diverso?
prova a pensare questa versione è molto più facile, suggerimento: uno è il complementare dell'altro.
La probabilità che tutti abbiano il compleanno in un giorno diverso è $1/365$ * n.
Giusto?
Giusto?
mmm... allora se ci sono 365 persone ($n=365$) è certo ($365/365=1$) che abbiano il compleanno tutti in giorni diversi?
C'è qualcosa che non mi convice!
C'è qualcosa che non mi convice!
Questo problema si può modella in diversi modi.
Proviamo a ragionare con le probabilità senza passare per il calcolo combiantorio, se questo ti rende il ragionamento più facile, se no torniamo indietro.
Sia $U$ un'urna di $t$ palline numerate e distine. Scegliamo $n$ palline e le reinseriamo nell'urna una volta estratte (guardate).
Il problema riscritto si può formulare come calcolare la probabilità dell'evento $A={$gli elementi estratti sono tutti diversi tra loro$}$. Fissiamo $A_k={$il k-esimo elementro estratto è diverso dai precedenti$}$. Allora, notando che si parla di eventi indipendenti, distinti ed equiprobabili:
\(\mathbb{P}(A_1)= \frac{t}t = 1\) gio73_prob={il primo elemento estretto è diverso dai precedenti} ma guarda un po'...
\(\mathbb{P}(A_2)= \frac{t-1}t\) (non si tiene conto dell'elemento precedente perchè è diverso)
\(\mathbb{P}(A_3)= \frac{t-2}t\)
...
\(\mathbb{P}(A_n)= \frac{t-n +1}t\)
Utilizzando note proprietà, calcoliamo la probabilità dell'evento $A$:
\[\mathbb{P}(A)= \frac{t*(t-1)*(t-2)*....*(t-n+1)}{t^n}\]
Questo evento rapportato al problema dei compleanni, sostituisci $t$ con $365$ ed avrai la probabilità di avere che tutti compiano gli anni giorni diversi.
Il suggerimento che "uno è il complementare dell'altro" è da applicare qui, per trovare la probabilità interessate.
Due note:
- $t*(t-1)*(t-2)*....*(t-n+1) = {t!}/{(t-n)!}$ nota formula sulle funzioni iniettive dove si da "il numero di disposizioni semplici di $t$ oggetti presi $n$ volte annotato di solito con $D_{n}^{t} (e qui un indizione per la formulazione con calcolo combinatorio)
- \(\mathbb{P}(A^C)= 1 - \mathbb{P}(A)\) prob. complementare
Circa è tutto, ti ho scritto questo perchè vorrei che ragionassi sul problema complementare che rende il tutto più semplice, se hai domande basta chiedere
Proviamo a ragionare con le probabilità senza passare per il calcolo combiantorio, se questo ti rende il ragionamento più facile, se no torniamo indietro.
Sia $U$ un'urna di $t$ palline numerate e distine. Scegliamo $n$ palline e le reinseriamo nell'urna una volta estratte (guardate).
Il problema riscritto si può formulare come calcolare la probabilità dell'evento $A={$gli elementi estratti sono tutti diversi tra loro$}$. Fissiamo $A_k={$il k-esimo elementro estratto è diverso dai precedenti$}$. Allora, notando che si parla di eventi indipendenti, distinti ed equiprobabili:
\(\mathbb{P}(A_1)= \frac{t}t = 1\) gio73_prob={il primo elemento estretto è diverso dai precedenti} ma guarda un po'...
\(\mathbb{P}(A_2)= \frac{t-1}t\) (non si tiene conto dell'elemento precedente perchè è diverso)
\(\mathbb{P}(A_3)= \frac{t-2}t\)
...
\(\mathbb{P}(A_n)= \frac{t-n +1}t\)
Utilizzando note proprietà, calcoliamo la probabilità dell'evento $A$:
\[\mathbb{P}(A)= \frac{t*(t-1)*(t-2)*....*(t-n+1)}{t^n}\]
Questo evento rapportato al problema dei compleanni, sostituisci $t$ con $365$ ed avrai la probabilità di avere che tutti compiano gli anni giorni diversi.
Il suggerimento che "uno è il complementare dell'altro" è da applicare qui, per trovare la probabilità interessate.
Due note:
- $t*(t-1)*(t-2)*....*(t-n+1) = {t!}/{(t-n)!}$ nota formula sulle funzioni iniettive dove si da "il numero di disposizioni semplici di $t$ oggetti presi $n$ volte annotato di solito con $D_{n}^{t} (e qui un indizione per la formulazione con calcolo combinatorio)
- \(\mathbb{P}(A^C)= 1 - \mathbb{P}(A)\) prob. complementare
Circa è tutto, ti ho scritto questo perchè vorrei che ragionassi sul problema complementare che rende il tutto più semplice, se hai domande basta chiedere
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