Esercizio combinazioni/dispozioni tango argentino
ciao a tutti,
l'esercizio dice: una classe di tango argentino ha 22 studenti,10 donne e 12 uomini. in quanti modi si possono formare 5 coppie?
io ho seri problemi a risolvere questo esercizio usando le disposizioni e le combinazioni (sicuramente perche' non ho capito niente)
io intanto volevo risolvere questo esercizio sia utilizzando le disposizioni e permutazioni (coppie ORDINATE) sia utilizzando le combinazioni (coppie NON ORDINATE)
i miei ragionamenti sono stati questi.......
--->CASO DELLE PERMUTAZIONI/DISPOSIZIONI
osservo le coppie che devo formare in maniera ordinata come l'alternanza di $a$ = uomo $b$ = donna
$(ab)*(ab)*(ab)*(ab)*(ab)$
quindi TUTTE le possibili coppie ordinate di individui (tutti e 22) sara' dato utilizzando il principio fondamentale del calcolo combinatorio come...
$(12 * 10)*(11 * 9)*(10 * 8)*(9 * 7)*(8 * 6)$
poi il mio ragionamento per rimuovere tutte le singole ripetizioni delle coppie (togliendo le coppie $(ab)$ e $(ba)$) e' quello di dividere tutto questo enorme prodotto per ($2!$) 5 volte (ovvero 1 volta per coppia) e di dividerlo anche per $5!$ che corrisponde alle possibili permutazioni delle 5 coppie viste come entita' uniche.
quindi il risultato sarebbe
$((12 * 10)*(11 * 9)*(10 * 8)*(9 * 7)*(8 * 6))/(5!*2!*2!*2!*2!*2!)$ $ = 1496880$
----->DISPOSIZIONI
ho pensato.... con il coefficiente binomiale (non so' farlo in latex aiutoooo) di $(5 su 12)$ ottengo le coppie non ordinate di 5 uomini presi sui 12, faccio lo stesso sulle donne $(5 su 10)$ e per il principio del calcolo combinatorio con il prodotto dovrei ottenere lo stesso risultato..... perche' pensavo di aver ragionato bene, invece ovviamente qualcosa non va (o sono sbagliate entrambe) dato che questa volta il risultato mi viene...$(5 su 12) = 792$ e $(5 su 10) = 252$ e $252 * 792 = 199584$ che e' ovviamente diverso dall'altro risultato...help
l'esercizio dice: una classe di tango argentino ha 22 studenti,10 donne e 12 uomini. in quanti modi si possono formare 5 coppie?
io ho seri problemi a risolvere questo esercizio usando le disposizioni e le combinazioni (sicuramente perche' non ho capito niente)
io intanto volevo risolvere questo esercizio sia utilizzando le disposizioni e permutazioni (coppie ORDINATE) sia utilizzando le combinazioni (coppie NON ORDINATE)
i miei ragionamenti sono stati questi.......
--->CASO DELLE PERMUTAZIONI/DISPOSIZIONI
osservo le coppie che devo formare in maniera ordinata come l'alternanza di $a$ = uomo $b$ = donna
$(ab)*(ab)*(ab)*(ab)*(ab)$
quindi TUTTE le possibili coppie ordinate di individui (tutti e 22) sara' dato utilizzando il principio fondamentale del calcolo combinatorio come...
$(12 * 10)*(11 * 9)*(10 * 8)*(9 * 7)*(8 * 6)$
poi il mio ragionamento per rimuovere tutte le singole ripetizioni delle coppie (togliendo le coppie $(ab)$ e $(ba)$) e' quello di dividere tutto questo enorme prodotto per ($2!$) 5 volte (ovvero 1 volta per coppia) e di dividerlo anche per $5!$ che corrisponde alle possibili permutazioni delle 5 coppie viste come entita' uniche.
quindi il risultato sarebbe
$((12 * 10)*(11 * 9)*(10 * 8)*(9 * 7)*(8 * 6))/(5!*2!*2!*2!*2!*2!)$ $ = 1496880$
----->DISPOSIZIONI
ho pensato.... con il coefficiente binomiale (non so' farlo in latex aiutoooo) di $(5 su 12)$ ottengo le coppie non ordinate di 5 uomini presi sui 12, faccio lo stesso sulle donne $(5 su 10)$ e per il principio del calcolo combinatorio con il prodotto dovrei ottenere lo stesso risultato..... perche' pensavo di aver ragionato bene, invece ovviamente qualcosa non va (o sono sbagliate entrambe) dato che questa volta il risultato mi viene...$(5 su 12) = 792$ e $(5 su 10) = 252$ e $252 * 792 = 199584$ che e' ovviamente diverso dall'altro risultato...help
Risposte
Tra le due strade la prima non mi sembra corretta, la seconda si, ma è incompleta.
Con 199.584 hai solo scelto i 10 membri (5F + 5M) (come se tu avessi selezionato tra i 22 chi possono essere i 10 privilegiati, e messi in una stanza tutti insieme...), ora li devi "accoppiare" tra loro !!
Con 199.584 hai solo scelto i 10 membri (5F + 5M) (come se tu avessi selezionato tra i 22 chi possono essere i 10 privilegiati, e messi in una stanza tutti insieme...), ora li devi "accoppiare" tra loro !!
con il coefficiente multinomiale risolvo!!!! faccio : (di 10 che sono , ne prendo 2, 5 volte) 10 scelgo 2,2,2,2,2. pero' rimane il problema adesso su come rimuovere le coppie non legali ( Donna Donna) ( Uomo Uomo), per non parlare che vorrei capire cosa del mio ragionamento sulle disposizioni/permutazioni sia sbagliato e perche'
mi potete dite come faccio a togliere le coppie non legali? e come avrei dovuto ragionare pensando il problema in termini di permutazioni/disposizioni?
c'e' nessuno?
"Fedrooo":
con il coefficiente multinomiale risolvo!!!! faccio : (di 10 che sono , ne prendo 2, 5 volte) 10 scelgo 2,2,2,2,2. pero' rimane il problema adesso su come rimuovere le coppie non legali ( Donna Donna) ( Uomo Uomo), per non parlare che vorrei capire cosa del mio ragionamento sulle disposizioni/permutazioni sia sbagliato e perche'
Soluzione 2:
Immagina che fai sedere su 5 sedie le 5 F, ora hai 5M da associare alla 5F.
Alla prima F, puoi associare 5M, alla seconda 4, alla terza 3 ....,
pertanto basta che moltiplicavi al risultato già ottenuto $5!$
"Fedrooo":
--->CASO DELLE PERMUTAZIONI/DISPOSIZIONI
osservo le coppie che devo formare in maniera ordinata come l'alternanza di $a$ = uomo $b$ = donna
$(ab)*(ab)*(ab)*(ab)*(ab)$
quindi TUTTE le possibili coppie ordinate di individui (tutti e 22) sara' dato utilizzando il principio fondamentale del calcolo combinatorio come...
$(12 * 10)*(11 * 9)*(10 * 8)*(9 * 7)*(8 * 6)$
poi il mio ragionamento per rimuovere tutte le singole ripetizioni delle coppie (togliendo le coppie $(ab)$ e $(ba)$) e' quello di dividere tutto questo enorme prodotto per ($2!$) 5 volte (ovvero 1 volta per coppia) e di dividerlo anche per $5!$ che corrisponde alle possibili permutazioni delle 5 coppie viste come entita' uniche.
quindi il risultato sarebbe
$((12 * 10)*(11 * 9)*(10 * 8)*(9 * 7)*(8 * 6))/(5!*2!*2!*2!*2!*2!)$ $ = 1496880$
Questa strada mi piace di meno, perchè è meno "diretta",
cmq, vediamo dove sta l'errore....
1) a parte il risultato errato... (.. rifai i calcoli..)
2) per il numeratore il ragionamento va bene. Per il denominatore, mi sta bene la riduzione della disposizione delle 5 coppie $5!$, ma la riduzione dello "scambio coppia" NO. Il motivo è semplicissimo: ogni singola coppia la formi prendendo un M (dal gruppo di M) ed una F (dal gruppo di F), pertanto non ci saranno mai doppioni di coppia ! (M1-F1) <==> (F1-M1), pertanto questa riduzione non va fatta !!
Seguendo (anche) i consigli di Umby abbiamo:
$(12*10*11*9*10*8*9*7*8*6)/(5!)=23.950.080$
$792*252*(5*5*4*4*3*3*2*2*1*1)/(5!)=23.950.080$
$(12*10*11*9*10*8*9*7*8*6)/(5!)=23.950.080$
$792*252*(5*5*4*4*3*3*2*2*1*1)/(5!)=23.950.080$
vi ringrazio davvero per le risposte! sto cominciando a capire
avrei altre 2 domande:
1) se avessi voluto fare questo esercizio a partire da tutte le possibili permutazioni dei ballerini,quindi magari non vedendole come coppie ordinate di questo tipo
$(12*10) * (11*9) * (10*8) * (9*7) * (8*6)$
ma se fossi partito da qualcosa del tipo
$22*21*20*19*18*17*16*15*14*13$
come avrei potuto fare, passo per passo, ad eliminare tutte le ripetizioni o coppie non valide?
2) esistono altri modi con le combinazioni per poter fare questo esercizio? se si quali?
grazie in anticipo a tutti mi state aiutando molto
avrei altre 2 domande:
1) se avessi voluto fare questo esercizio a partire da tutte le possibili permutazioni dei ballerini,quindi magari non vedendole come coppie ordinate di questo tipo
$(12*10) * (11*9) * (10*8) * (9*7) * (8*6)$
ma se fossi partito da qualcosa del tipo
$22*21*20*19*18*17*16*15*14*13$
come avrei potuto fare, passo per passo, ad eliminare tutte le ripetizioni o coppie non valide?
2) esistono altri modi con le combinazioni per poter fare questo esercizio? se si quali?
grazie in anticipo a tutti mi state aiutando molto
Punto 1: si potrebbe anche (forse) fare. Ma dovresti togliere togliere tutte le permutazioni in cui compaiono 10 uomini, o 9 uomini e 1 donna, o ....., o 1 uomo e 9 donne, o 10 donne. Che sarebbe un conteggio molto lungo e facilmente soggetto ad errori. E poi ti ritroveresti con le famose $199.584$ superstiti... Non credo abbia molto senso.
Punto 2: Non so se ci sono altri metodi...
Punto 2: Non so se ci sono altri metodi...
immagino che il calcolo sia soggetto a errore e molto lungo, ma io voglio vedere come si comportano le varie combinazioni/permutazioni/disposizioni in relazione a cosa voglio ottenere! i 2 punti che ho aggiunto nel mio ultimo post sarebbero piu' per farmi capire a me, che di utilizzo pratico! se qualcuno potesse aiutarmi a togliermi queste ultime curiosita' sono a cavallo =)
Puoi cominciare a fare i calcoli.
Poi magari posso verificare se sono esatti.....
Poi magari posso verificare se sono esatti.....
"Fedrooo":
ma se fossi partito da qualcosa del tipo
$22*21*20*19*18*17*16*15*14*13$
come avrei potuto fare, passo per passo, ad eliminare tutte le ripetizioni o coppie non valide?
se a questo calcolo dividi per $10!$ ottieni 646.646 (non è altro che $((22),(10))$ ), per vedere tutte le vari combinazioni, puoi farti aiutare da excel, cosi' ti rendi conto meglio. Qualcosa del genere. La centrale (5+5) è quella da te cercata..

"Fedrooo":
mi potete dite come faccio a togliere le coppie non legali? e come avrei dovuto ragionare pensando il problema in termini di permutazioni/disposizioni?
Mi inserisco, perché mi pare che non ci sia una risposta esplicita a quest'ultima domanda.
Ti è chiaro che prima di affrontare gli abbinamenti (coppie) bisogna scegliere i 10 ballerini? e che una scelta diversa anche di un solo ballerino comporta modi diversi di formare le 5 coppie (modi da conteggiare)?
Ebbene, la prima cosa da chiedersi è: in quanti modi posso scegliere i 10 ballerini in modo che 5 siano uomini e 5 donne?
Le scelte degli uomini e delle donne sono indipendenti, dunque il numero di modi è dato dal prodotto tra il numero di scelte di 5 elementi da un insieme di 10 elementi e il numero di scelte di 5 elementi da un insieme di 12 elementi: $((n),(k))$ è il simbolo per indicare il numero di $k$-sottoinsiemi di un $n$-insieme.
Dunque il numero preliminare che devi determinare è $((10),(5))*((12),(5))=(10*9*8*7*6)/(5!)*(12*11*10*9*8)/(5!)$
Tale numero va moltiplicato per il numero di coppie che puoi formare una volta che hai 5 uomini e 5 donne: quante sono le funzioni biunivoche dall'insieme A di 5 elementi all'insieme B di 5 elementi? $5!$
è chiaro?