Esercizio combinatorio
Scusate sono nuovo e chiedo scusa se sbaglio qualcosa.
Vengo subito al punto:
Abbiamo infinite monete; ogni sessione da esaminare sia di 20 lanci; vorrei sapere quanti colpi persi avrò, sapendo che bastano due "testa" di fila per vincere l intera sessione da 20.
Spero di essere stato chiaro, magari se potreste fornirmi anche la formula, così che possa riutilizzarla per altri quesiti identici
Grazie in anticipo
Vengo subito al punto:
Abbiamo infinite monete; ogni sessione da esaminare sia di 20 lanci; vorrei sapere quanti colpi persi avrò, sapendo che bastano due "testa" di fila per vincere l intera sessione da 20.
Spero di essere stato chiaro, magari se potreste fornirmi anche la formula, così che possa riutilizzarla per altri quesiti identici
Grazie in anticipo
Risposte
Sorvolando sul "se potreste " che davvero stride in un forum frequentato per la maggior parte da studenti universitari, il regolamento prevede che tu inserisca una bozza o tentativo di soluzione. Inoltre è necessario anche il testo integrale del problema: "quanti colpi persi avrò " non è un quesito ben posto....forse vuoi sapere "mediamente " quanti colpi persi su n tentativi...o forse altro.
Infine ti informo che in questa stanza è gradito che le formule vengano inserite con l'apposito compilatore; c'è un box rosa in alto con tutte le istruzioni, se necessario.
Buona permanenza e benvenuto sul forum
Infine ti informo che in questa stanza è gradito che le formule vengano inserite con l'apposito compilatore; c'è un box rosa in alto con tutte le istruzioni, se necessario.
Buona permanenza e benvenuto sul forum
Grazie per la risposta leggermente "spinosa".
Studente universitario poi, non è sinonimo di accessibilità, conoscenza o genialità.
Il problema non è il mio italiano, ma è quello posto successivamente: che formula dovrei inserire se, appunto non conoscendola, ve la stavo chiedendo?
Semplicemente: in trance di 20 colpi, quante sono le figure negative rispetto alle totali, sapendo che bastano 2 Testa per vincere l'intera sessione?
Si può rispondere semplicemente?
Studente universitario poi, non è sinonimo di accessibilità, conoscenza o genialità.
Il problema non è il mio italiano, ma è quello posto successivamente: che formula dovrei inserire se, appunto non conoscendola, ve la stavo chiedendo?
Semplicemente: in trance di 20 colpi, quante sono le figure negative rispetto alle totali, sapendo che bastano 2 Testa per vincere l'intera sessione?
Si può rispondere semplicemente?
Si potrebbe rispondere semplicemente se questo forum fosse un distributore automatico di soluzioni. Fortunatamente vorrebbe essere, invece, un luogo di discussione dove si possano confrontare punti di vista simili o, anche, completamente diversi. Il problema è originale ed interessante, ma il regolamento prevede che le domande vengano formulate chiaramente ed accompagnate dai tentativi di soluzione che non hanno permesso di arrivare al risultato cercato. La 'formula' che esiste ed è pure simpatica non nasce dal nulla. Prova a considerare 'trance', come le chiami tu, di lunghezza molto più piccola ed a ragionarci su.
Ciao
Ciao
[ot]@beppe: ti voglio bene!
L'ho trovata anche io la formula
Ahahah
Sì simpatica...i numeratori sono la sequenza di fibonacci[/ot]
L'ho trovata anche io la formula
Ahahah
Sì simpatica...i numeratori sono la sequenza di fibonacci[/ot]
@tommik:
Certo! E la probabilità di perdere tende, in funzione del numero $n$ di lanci, abbastanza rapidamente a $4/sqrt(5)((1+sqrt(5))/4)^{n+2} $
Ciao
Certo! E la probabilità di perdere tende, in funzione del numero $n$ di lanci, abbastanza rapidamente a $4/sqrt(5)((1+sqrt(5))/4)^{n+2} $
Ciao
@ Tommik, orsoulx
La probabilità di vincita per ogni sessione da 20 lanci mi viene:
$1/4 sum_(i=0)^(18)C_i /(2^i)~~98,3%$
Dove $C_i=1,1,2,3,5, 8,13,21,34,....$
(risultato che coincide con la soluzione di Orsoulx)
All'inizio non vedevo la regolarità poi, dopo che Orsoulx ha detto che la formula esisteva ed era simpatica, sono andato un po' avanti e la soluzione mi si è materializzata davanti agli occhi....
Per rendersene conto basta sviluppare i casi possibili a partire da n=2:
$1/4 sum_(i=0)^(18)C_i /(2^i)~~98,3%$
Dove $C_i=1,1,2,3,5, 8,13,21,34,....$
(risultato che coincide con la soluzione di Orsoulx)
All'inizio non vedevo la regolarità poi, dopo che Orsoulx ha detto che la formula esisteva ed era simpatica, sono andato un po' avanti e la soluzione mi si è materializzata davanti agli occhi....
Per rendersene conto basta sviluppare i casi possibili a partire da n=2:
Forse mi sfugge qualcosa: su due lanci siamo d'accordo. Ma su 3 lanci gli eventi favorevoli dovrebbero essere 3/8, giusto?
Ovvero: (T,T,C), (T,T,T), (C,T,T).
Sui lanci successivi $8/16, 19/32 ...$
..o devono uscire due testa in chiusura della serie di lanci? Perché è quello che vedo dalla tabella di Tommik, tranne nella terzultima riga.
Ovvero: (T,T,C), (T,T,T), (C,T,T).
Sui lanci successivi $8/16, 19/32 ...$
..o devono uscire due testa in chiusura della serie di lanci? Perché è quello che vedo dalla tabella di Tommik, tranne nella terzultima riga.
[strike]Su[/strike] Per chiudere la partita in 3 lanci l' unico evento favorevole è CTT. Gli altri due eventi sono inclusi in
TTXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dove X indica qualunque risultato e la partita si sarebbe chiusa in due lanci...
Nota: in base all'interpretazione del testo (tra l'altro postato malissimo dall'utente) per vincere la partita bastano almeno due teste consecutive. In tal modo per schematizzare il calcolo ho usato il teorema della probabilità totale facendo tutti i casi:
- si vince dopo due lanci
- si vince dopo tre lanci
- si vince dopo quattro lanci
ecc ecc
con tale impostazione le successioni di risultati devono necessariamente terminare con TT e non devono includere una combinazione TT antecedente....dopo può succedere qualunque cosa....quindi probabilità 1
Ovviamente nella terzultima riga della tabella ho scritto male....finisce con TT
TTXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dove X indica qualunque risultato e la partita si sarebbe chiusa in due lanci...
Nota: in base all'interpretazione del testo (tra l'altro postato malissimo dall'utente) per vincere la partita bastano almeno due teste consecutive. In tal modo per schematizzare il calcolo ho usato il teorema della probabilità totale facendo tutti i casi:
- si vince dopo due lanci
- si vince dopo tre lanci
- si vince dopo quattro lanci
ecc ecc
con tale impostazione le successioni di risultati devono necessariamente terminare con TT e non devono includere una combinazione TT antecedente....dopo può succedere qualunque cosa....quindi probabilità 1
Ovviamente nella terzultima riga della tabella ho scritto male....finisce con TT
Il meccanismo ricorsivo lo avevo in mente, ma effettivamente non sapevo come generalizzarlo, ora ha un senso 
Il fraintendimento stava nei numeratori delle probabilità, pensavo ti riferissi a quello per la serie di Fibonacci, da lì i dubbi.
Il fraintendimento stava nei numeratori delle probabilità, pensavo ti riferissi a quello per la serie di Fibonacci, da lì i dubbi.
"Injuria":
pensavo ti riferissi a quello per la serie di Fibonacci, da lì i dubbi.
Volendo formalizzare il procedimento possiamo indicare con $ C_n $ e $ T_n $ il numero di stringhe di lunghezza $ n $, che non portano alla vittoria, terminanti rispettivamente con croce o con testa.
Ad una del primo tipo possiamo aggiungere, indifferentemente, croce o testa; mentre una del secondo può continuare solo con croce, perché con testa si vincerebbe.
Sarà allora $ C_{n+1}=C_n+T_n $ e $ T_{n+1}=C_n $, da cui, sostiuendo la seconda nella prima
$ C_{n+1}=C_n+C_{n-1} $ che è la legge ricorsiva della successione [se Erasmus legge serie vi spara un papiro di due pagine... ed anche su successione troverebbe a ridire
} di Fibonacci.Essendo $ C_1=1; C_2=2 $ abbiamo $ C_n=F_{n+1} $ e $ T_n=F_n $, la cui somma (numero di stringhe di lunghezza $ n $ che non contengono due T successivi) è $ F_{n+2} $.
La probabilità di perdere con $ n$ lanci è allora $ P(S_n)=F_{n+2}/2^n $ e quella di vincere $P(V_n)=1- F_{n+2}/2^n $.
Volendo si poteva impostare anche come un processo markoviano con tre stati C,T e V e matrice di transizione:
$ ((1/2,1/2,0),(1/2,0,1/2),(0,0,1))$.
Ciao
Grazie per la spiegazione, alla fine il quesito del nostro autore* era anche di interesse e meno banale di tanti altri.
In effetti non ha senso chiamarla serie e forse nemmeno successione, d'ora in poi numeri di Fibonacci e siamo apposto col capoccia? Lo spero!
*meglio...e comunque ha avuto formule e spiegazioni, tanta roba.
In effetti non ha senso chiamarla serie e forse nemmeno successione, d'ora in poi numeri di Fibonacci e siamo apposto col capoccia? Lo spero!
*meglio...e comunque ha avuto formule e spiegazioni, tanta roba.
Ciao
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