Esercizio calcolo probabilità evento combinato
La densità di probabilita di un numero aleatorio $X$ è $f(x) = 0$, per $x < 0$; $f(x) = c$, per $x∈[0,1]$; $f(x) = 1/3x^2$, per $x > 1$. Calcolare a) il valore della costante $c$ e b) la funzione di ripartizione di $X$. Infine, calcolare c) la probabilità dell'evento $(X > 3|X > 1)$.
a) $\int_0^1cdx + \int_1^(+oo) 1/(3x^2)dx=1$ e ottengo $c=2/3$
b) $\int_0^1 2/3 dx + \int_1^(x) 1/(3t^2)dt= 1-1/(3x)$ quindi concludo che la funzione di ripartizione sarà 0 per $x<0$ e invece sarà $ 1-1/(3x)$ per $x>=0$.
c) $(X > 3|X > 1)=(P(X>3 nn X>1))/(P(X>1))=(P(X>3))/(P(X>1))$
A questo punto calcolerei singolarmente i valori degli integrali oppure, per ridurre i calcoli, potrei risolvere facendo $P(X>3)=1-F_X (3)=1-1/9$.
Stesso discorso per $P(X>1)$.
E' giusto?
Grazie per l'aiuto.
a) $\int_0^1cdx + \int_1^(+oo) 1/(3x^2)dx=1$ e ottengo $c=2/3$
b) $\int_0^1 2/3 dx + \int_1^(x) 1/(3t^2)dt= 1-1/(3x)$ quindi concludo che la funzione di ripartizione sarà 0 per $x<0$ e invece sarà $ 1-1/(3x)$ per $x>=0$.
c) $(X > 3|X > 1)=(P(X>3 nn X>1))/(P(X>1))=(P(X>3))/(P(X>1))$
A questo punto calcolerei singolarmente i valori degli integrali oppure, per ridurre i calcoli, potrei risolvere facendo $P(X>3)=1-F_X (3)=1-1/9$.
Stesso discorso per $P(X>1)$.
E' giusto?
Grazie per l'aiuto.
Risposte
hai dimenticato un pezzo nella funzione di ripartizione. Hai proprio ignorato la FdR nell'intervallo $x in [0;1]$
$F_X(x)={{: ( 0 , ;x<0 ),(2/3x, ;0<=x<1 ),( 1-1/(3x) , ;x>=1 ) :}$
Quando calcoli una densità o una funzione di ripartizione devi anche controllare che tale funzione rispetti le proprietà di ogni buona densità o distribuzione....la tua $F_X(x)$ è minore di zero per $AAx<1/3$
il metodo di calcolo della probabilità condizionata è corretto[nota]a parte il refuso perché $1-F(3)=1-(1-1/9)=1/9$[/nota]. Il valore di $mathbb{P}[X>3|X>1]$ ti viene comunque corretto ma per puro caso....prova ad esempio a calcolare
$mathbb{P}[X>3|X>1/4]$ e vedi che ti troveresti il denominatore con una probabilità maggiore di uno
$F_X(x)={{: ( 0 , ;x<0 ),(2/3x, ;0<=x<1 ),( 1-1/(3x) , ;x>=1 ) :}$
Quando calcoli una densità o una funzione di ripartizione devi anche controllare che tale funzione rispetti le proprietà di ogni buona densità o distribuzione....la tua $F_X(x)$ è minore di zero per $AAx<1/3$
il metodo di calcolo della probabilità condizionata è corretto[nota]a parte il refuso perché $1-F(3)=1-(1-1/9)=1/9$[/nota]. Il valore di $mathbb{P}[X>3|X>1]$ ti viene comunque corretto ma per puro caso....prova ad esempio a calcolare
$mathbb{P}[X>3|X>1/4]$ e vedi che ti troveresti il denominatore con una probabilità maggiore di uno
Si in effetti ho saltato un pezzo ma non ho capito come hai ottenuto il valore in $[0,1)$.
Cioè devo verificare in quale intervallo $f(x)>=0$?
In questo caso $P(X>3)=1/9$ mentre invece $P(X>1/4)=1-1/6$ questo perché per $x=1/4$ ho $F_X(X)=2/3x$ dato che il valore di $x$ rientra nell'intervallo tra 0 e 1.
Quando calcoli una densità o una funzione di ripartizione devi anche controllare che tale funzione rispetti le proprietà di ogni buona densità o distribuzione....
Cioè devo verificare in quale intervallo $f(x)>=0$?
prova ad esempio a calcolare
$mathbb{P}[X>3|X>1/4]$
In questo caso $P(X>3)=1/9$ mentre invece $P(X>1/4)=1-1/6$ questo perché per $x=1/4$ ho $F_X(X)=2/3x$ dato che il valore di $x$ rientra nell'intervallo tra 0 e 1.
Intendevo dire "fai il calcolo con la tua funzione di ripartizione" così vedi che le cose non funzionano...
La $F_X(x)$ deve godere delle seguenti proprietà
1) $" "lim_(x rarr -oo)F(x)=0$ nel tuo caso è ovviamente $F(0)=0$
2) $" "lim_(x rarr +oo)F(x)=1$
3) deve essere non decrescente, ovvero $d/(dx)F>=0 AAx$
3 bis) ciò è equivalente a verificare che $f(x)>=0" "AAx$
La tua F diventa addirittura negativa quando $x<1/3$....c'è qualche cosa che non va...
Come ho fatto a calcolare la F? semplice, come al solito con la definizione
Nell'intervallo $x in [0;1]$ la densità è unforme, costante...la sua F sarà una retta con coefficiente angolare $2/3$
Puoi comunque usare la definizione $F_X(x)=int_0^x 2/3dt=2/3x$
quando calcoli la FdR per $x in [1;+oo)$ hai fatto per bene, dato che devi cumulare tutta la massa di probabilità ottenuta in $x<=1$
La $F_X(x)$ deve godere delle seguenti proprietà
1) $" "lim_(x rarr -oo)F(x)=0$ nel tuo caso è ovviamente $F(0)=0$
2) $" "lim_(x rarr +oo)F(x)=1$
3) deve essere non decrescente, ovvero $d/(dx)F>=0 AAx$
3 bis) ciò è equivalente a verificare che $f(x)>=0" "AAx$
La tua F diventa addirittura negativa quando $x<1/3$....c'è qualche cosa che non va...
Come ho fatto a calcolare la F? semplice, come al solito con la definizione
Nell'intervallo $x in [0;1]$ la densità è unforme, costante...la sua F sarà una retta con coefficiente angolare $2/3$
Puoi comunque usare la definizione $F_X(x)=int_0^x 2/3dt=2/3x$
quando calcoli la FdR per $x in [1;+oo)$ hai fatto per bene, dato che devi cumulare tutta la massa di probabilità ottenuta in $x<=1$
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