Esercizio calcolo media (X^2 * (1+Y)^2)

[Mattewb]

Salve a tutti, non riesco a risolvere il seguente esercizio, potreste aiutarmi?
"Siano \(X\) ed \(Y\) due variabili aleatorie indipendenti con \(E(X)=1\) , \(E(Y)=-2\) , \(Var(X)=0,2\) e \(Var(Y)=1,44\) .
Calcolare \(E( X^2 (1+Y)^2) \)"
Grazie in anticipo per la vostra disponibilità

[Lo_zio_Tom]

tieni presente che essendo


$V[X]=mathbb{E}[X^2]-mathbb{E}^2[X]$

puoi facilmente calcolare il momento secondo....data poi l'indipendenza il tutto diventa molto molto semplice.....

(devi comunque mettere i tuoi tentativi, è obbligatorio).

[Mattewb]

Rimedierò subito, anche perchè grazie al tuo suggerimento credo di essere riuscito a risolvere l'esercizio, la parte che mi bloccava era proprio la prima parte, sapendo che:

$ Var[X]=mathbb{E}[X^2]-mathbb{E}^2[X] $

$E[XY]=mathbb{E}[X] mathbb{E}[Y] $

$E[mathbb{aX+bY}]=mathbb{a} mathbb{E(X)} + mathbb{b} mathbb{E(Y)}$

trovo che:
$ E[X^2]= 1,2 $
$ E[(1+y)^2]= 5,44$

da cui:
$ E[x^2 (1+Y)^2]= 1,2 * 5,44= 6,528 $

[Lo_zio_Tom]

hai fatto qualche errorino.....nulla di male

$mathbb{E}[1+Y]^2=V[1+Y]+mathbb{E}^2[1+Y]=V[Y]+mathbb{E}^2[1+Y]=1.44+(1-2)^2=2.44$

Quindi il risultato è $1.2xx2.44=2.928$

Oppure, secondo me con meno probabilità di sbagliare, potevi fare così (svolgendo il quadrato del binomio):

$mathbb{E}[X^2(1+Y)^2]=mathbb{E}[X^2+2X^2Y+X^2Y^2]=$

$=mathbb{E}[X^2]+2mathbb{E}[X^2]mathbb{E}[Y]+mathbb{E}[X^2]mathbb{E}[Y^2]=1.2+2xx1.2xx(-2)+1.2xx5.44=2.928$