Esercizio calcolo delle probabilità
Salve a tutti, vorrei una mano su questo esercizio di calcolo delle probabilità:
Per codificare messaggi, il codice Morse usa “punti” e “linee”, che occorrono in maniera indipendente e in proporzione tale
che la probabilità che venga inviato un punto sia pari a $3/7$. Si supponga che ci sia una interferenza sul canale di trasmissione
per cui con probabilità pari a $1/8$ si riceve erroneamente una linea avendo trasmesso un punto e con la stessa probabilità di
$1/8$, si riceve un punto pur avendo trasmesso una linea.
a) Si consideri la trasmissione di un messaggio formato da 10 caratteri. Qual'è la probabilità di inviare un messaggio
contenente almeno due punti?
b) Qual'è la probabilità di errore del canale di trasmissione, ossia la probabilità di ricevere un carattere diverso da quello
trasmesso?
c) Se viene ricevuto un punto, qual'è la probabilità di aver ricevuto un segnale corretto?
d) Si consideri ora un diverso canale di trasmissione, per il quale la probabilità di ricevere erroneamente una linea avendo
trasmesso un punto sia ancora pari ad $1/8$, ma non necessariamente uguale alla probabilità di ricevere un punto avendo
trasmesso una linea. Si supponga che in ricezione la linea venga osservata con una frequenza pari a $1/4$. Calcolare la
probabilità del punto precedente.
Per quanto riguarga i punti a), b) e c) ho provato a risolverli, ma non sono sicuro della correttezza del procedimento:
a) 1 - P("il messaggio contiene 0 punti") - P("il messaggio contiene 1 punto") = 1 - $[(4/7)^10+(4/7)^10*(1/8)^10]-[(3/7+3/7*1/8)/10]$ = 0,95
b) P("ha ricevuto 1 punto"|"ho inviato una linea")*P("ho inviato una linea") + P("ha ricevuto una linea"|"ho inviato un punto")*P("ho inviato un punto") = $(3/7*1/8+4/7*1/8)/10$ = 0,0125
c) P("ha ricevuto un punto"|"ho inviato un punto") - P("ha ricevuto un punto"|"ho inviato una linea") = $(3/7-4/7*1/8)/10$ = 0,036
Questi sono i miei calcoli per a), b) e c), spero somiglino molto a quelli corretti!
Mentre per quanto riguarda d) non so come procedere.
Vi ringrazio in anticipo!
Per codificare messaggi, il codice Morse usa “punti” e “linee”, che occorrono in maniera indipendente e in proporzione tale
che la probabilità che venga inviato un punto sia pari a $3/7$. Si supponga che ci sia una interferenza sul canale di trasmissione
per cui con probabilità pari a $1/8$ si riceve erroneamente una linea avendo trasmesso un punto e con la stessa probabilità di
$1/8$, si riceve un punto pur avendo trasmesso una linea.
a) Si consideri la trasmissione di un messaggio formato da 10 caratteri. Qual'è la probabilità di inviare un messaggio
contenente almeno due punti?
b) Qual'è la probabilità di errore del canale di trasmissione, ossia la probabilità di ricevere un carattere diverso da quello
trasmesso?
c) Se viene ricevuto un punto, qual'è la probabilità di aver ricevuto un segnale corretto?
d) Si consideri ora un diverso canale di trasmissione, per il quale la probabilità di ricevere erroneamente una linea avendo
trasmesso un punto sia ancora pari ad $1/8$, ma non necessariamente uguale alla probabilità di ricevere un punto avendo
trasmesso una linea. Si supponga che in ricezione la linea venga osservata con una frequenza pari a $1/4$. Calcolare la
probabilità del punto precedente.
Per quanto riguarga i punti a), b) e c) ho provato a risolverli, ma non sono sicuro della correttezza del procedimento:
a) 1 - P("il messaggio contiene 0 punti") - P("il messaggio contiene 1 punto") = 1 - $[(4/7)^10+(4/7)^10*(1/8)^10]-[(3/7+3/7*1/8)/10]$ = 0,95
b) P("ha ricevuto 1 punto"|"ho inviato una linea")*P("ho inviato una linea") + P("ha ricevuto una linea"|"ho inviato un punto")*P("ho inviato un punto") = $(3/7*1/8+4/7*1/8)/10$ = 0,0125
c) P("ha ricevuto un punto"|"ho inviato un punto") - P("ha ricevuto un punto"|"ho inviato una linea") = $(3/7-4/7*1/8)/10$ = 0,036
Questi sono i miei calcoli per a), b) e c), spero somiglino molto a quelli corretti!
Mentre per quanto riguarda d) non so come procedere.
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
a) Non mi torna il calcolo; usando la binomiale con n=10
$P("almeno due") = 1 - P("zero") - P("uno") = 1 - ((10),(0)).(3/7)^0.(4/7)^10 - ((10),(1)).(3/7)^1.(4/7)^9$
Infatti si chiede "Qual'è la probabilità di inviare un messaggio contenente almeno due punti?" Tu invece consideri anche la $P$ che il carattere sia errato (ho capito bene?)
Ma anche in questo caso non mi sembra corretto; provo infatti a fare questo ragionamento: $3/7$ è la probabilità di inviare un punto, ma $1/8$ volte questo viene ricevuto errato, e viceversa; quindi la probabilità di RICEVERE un punto/una linea è
$P(rp) = 3/7- (1/8).(3/7) + (1/8).(4/7) = 25/56$
$P(rl) = 4/7- (1/8).(4/7) + (1/8).(3/7) = 31/56$
e se sviluppi la binomiale con queste
$P("almeno due") = 1 - P("zero") - P("uno") = 1 - ((10),(0)).(25/56)^0.(31/56)^10 - ((10),(1)).(25/56)^1.(31/56)^9$
b) A occhio direi 1/8, che è la probabilità di sbagliare sia punto sia linea (cos'è quel 10 al denominatore..?)
Però usando le considerazioni viste sopra, in una trasmissione ho probabilmente $24/56$ punti e $32/56$ linee mentre in una ricezione $25/56$ punti e $31/56$ linee. Quindi $2/56$ errori (ma ancora a occhio, quindi magari ricontrolla il mio ragionamento).
c) Vedi sopra, usando le probabilità di "ricezione"
d) Idem, ricalcolando sulla base della nuova probabilità di ricevere un punto.
Ovviamente il tutto sub judice, nella speranza dell'illuminata risposta di qualcuno più esperto di me
$P("almeno due") = 1 - P("zero") - P("uno") = 1 - ((10),(0)).(3/7)^0.(4/7)^10 - ((10),(1)).(3/7)^1.(4/7)^9$
Infatti si chiede "Qual'è la probabilità di inviare un messaggio contenente almeno due punti?" Tu invece consideri anche la $P$ che il carattere sia errato (ho capito bene?)
Ma anche in questo caso non mi sembra corretto; provo infatti a fare questo ragionamento: $3/7$ è la probabilità di inviare un punto, ma $1/8$ volte questo viene ricevuto errato, e viceversa; quindi la probabilità di RICEVERE un punto/una linea è
$P(rp) = 3/7- (1/8).(3/7) + (1/8).(4/7) = 25/56$
$P(rl) = 4/7- (1/8).(4/7) + (1/8).(3/7) = 31/56$
e se sviluppi la binomiale con queste
$P("almeno due") = 1 - P("zero") - P("uno") = 1 - ((10),(0)).(25/56)^0.(31/56)^10 - ((10),(1)).(25/56)^1.(31/56)^9$
b) A occhio direi 1/8, che è la probabilità di sbagliare sia punto sia linea (cos'è quel 10 al denominatore..?)
Però usando le considerazioni viste sopra, in una trasmissione ho probabilmente $24/56$ punti e $32/56$ linee mentre in una ricezione $25/56$ punti e $31/56$ linee. Quindi $2/56$ errori (ma ancora a occhio, quindi magari ricontrolla il mio ragionamento).
c) Vedi sopra, usando le probabilità di "ricezione"
d) Idem, ricalcolando sulla base della nuova probabilità di ricevere un punto.
Ovviamente il tutto sub judice, nella speranza dell'illuminata risposta di qualcuno più esperto di me
Per quanto riguarda la a) ho ragionato così:
P("il messaggio contiene 0 punti") = P("il messaggio contiene 10 linee") ed in quest'ultima ho considerato anche le linee arrivate per errore, come ho considerato in P("il messaggio contiene 1 punto") i punti arrivati per errore.
Mi sa che la binomiale è più azzeccata.
Per quanto riguardo la b) e la c) quel 10 a denominatore è un $((10),(1))$.
P("il messaggio contiene 0 punti") = P("il messaggio contiene 10 linee") ed in quest'ultima ho considerato anche le linee arrivate per errore, come ho considerato in P("il messaggio contiene 1 punto") i punti arrivati per errore.
Mi sa che la binomiale è più azzeccata.
Per quanto riguardo la b) e la c) quel 10 a denominatore è un $((10),(1))$.
Nel punto d) quanto vale la nuova probabilità di ricevere un punto?
Senza fare calcoli: se $1/4$ dei simboli ricevuti sono linee, allora $3/4$ sono punti. Ci chiediamo quanti siano probabilmente corretti.
Inviando $3/7$ punti nel messaggio, di questi $1/8$ "diventano" linee, quindi $3/7 . 7/8 = 3/8$ "rimangono" punti: sono correttamente ricevuti.
Tutti gli altri simboli "punto" osservati nel messaggio che ricevo sono dunque sbagliati: quindi...
Inviando $3/7$ punti nel messaggio, di questi $1/8$ "diventano" linee, quindi $3/7 . 7/8 = 3/8$ "rimangono" punti: sono correttamente ricevuti.
Tutti gli altri simboli "punto" osservati nel messaggio che ricevo sono dunque sbagliati: quindi...
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