Esercizio calcolo delle probabilità

[bjunior]

Ciao a tutti, volevo mostrarvi questo esercizio per vedere se ho ragionato bene;
A,B estraggono due carte ciascuno da un mazzo formato da 2 J 2 K e 2 Q. Inizia A e vince chi estrae almeno un J, se l'avversario non ne estrae nessuno, altrimenti la partita è patta.

Qual è la probabilità di vincita di A,di B e di un pareggio?

Allora io ho iniziato dicendo che le possibili combinazioni sono:
KK
QQ
JJ
KJ
QJ
KQ
quindi dato che parte A la probabilita $P(A)$ che ha A di pescare un J è di $\frac{1}{2}$ mentre la probabilità che B peschi un J dato che è il secondo a pescare è $P(B)=P(A\capB)+P(A^c\capB)=P(A)P(B|A)+P(A^c)P(B|A^c)$
dove ovviamente $P(A^c)=\frac{1}{2}$ mentre $P(B|A)=\frac{2}{5}$ e $P(B|A^c)=\frac{3}{5}$ e quindi $P(B)=\frac{1}{2}$
la probabilità che ha A di vincere quindi è $P(A\capB^c)=P(A)P(B^c|A)=0.3$ mentre la possibilità che ha B di vincere è pari ad $P(B\capA^c)=P(A^c)P(A^c|B)=0.3$
la probabilità di pareggio è pari a $P(Par)=P(A^c\capB^c)+P(A\capB)=P(A^c)P(B^c|A^c)+P(A)P(B|A)=0.4$
ho ragionato bene??
Grazie a chi risponderà

[kobeilprofeta]

Forse mi perdo qualcosa, ma una volta che hai trovato le possibili combinazioni hai che la probabilità che uno peschi almeno un J è $1/2$, da cui:
$P_a=P_b=1/2*1/2$
Mentre il pareggio $1/2$

[bjunior]

io ho tenuto conto che parte A a quindi a B gli rimangono non più 6 coppie ma 5 che può prendere
poi potresti spiegarmi perchè hai posto:

"kobeilprofeta":
$ P_a=P_b=1/2*1/2 $
Mentre il pareggio $ 1/2 $

??

[kobeilprofeta]

Non avevo capito che le carte estratte da $A$ non vanno reinserite

[bjunior]

Quindi il mio ragionamento è giusto??

[kobeilprofeta]

Quali sarebbero i risultati che hai ottenuto? Io ragionerei così: so che A ha la stessa probabilita di vincita di B (infatti non chiede chi pesca un J per primo quindi chi parte a pescare non conta), ora devo trovare la probabilità del pareggio. Le possibilità di pareggio sono: A pesca un J (3/6) e anche B lo pesca (2/5); oppure A non pesca il J (3/6) e neanche B (2/5). La probabilità del pareggio è dunque data da $3/6*2/5+3/6*2/5=2/5$. Ora seguono le probabilità di vittoria: $P_A=P_B=(1-2/5)/2=3/10$.

[bjunior]

Diciamo che il tuo ragionamento corrisponde con quello del mio primo post... ti ringrazio tanto per il tuo aiuto

[kobeilprofeta]

Sì. Ho voluto farti vedere un altro approcio (forse un po' più semplice).

[superpippone]

E' vero che le possibili coppie di carte estratte da A sono 6, ma non sono tutte equiprobabili:
JJ = 1/15
QQ = 1/15
KK = 1/15
JQ = 4/15
JK = 4/15
QK = 4/15
Facendo ciò, (ed ammettendo che prima A pesca due carte, poi B pesca le sue due) le probabilità che vinca A, che vinca B, o che finisca in pareggio, sono di $1/3$ ciascuna.

[bjunior]

Giusto hai ragione e ho rivisto l' esercizio e la probabilità di prendere un J non è $1/3$ ma $9/15$

[bjunior]

Ciao a tutti... ho rivisto questo esercizio e mi sono incartato di nuovo... qualcuno sarebbe così gentile da mostrarmi la risoluzione passo per passo perchè la mia non mi convince?? :\ Grazie per l'eventuale disponibilità

[zurlo1]

A vince:
1) se pesca JJ $1/15$
2) se pesca un J e B non lo pesca $8/15*3/6=4/15$
Totale $(1+4)/15=1/3$

A perde:
Se non prende nessun J, e B ne prende almeno uno $6/15*5/6=1/3$

A pareggia:
1) se non pesca nessun J, e B neppure $6/15*1/6=1/15$
2) se pesca un J, e B anche $8/15*3/6=4/15$
Totale $(1+4)/15=1/3$

[bjunior]

Grazie Zurlo