Esercizio - Calcolo combinatorio & Prob classica
Salve a tutti, ho un dubbio sul seguente esercizio:
Consideriamo una partita a poker tra 4 persone, in cui si usa un mazzo di 32 carte composto da [A,K,Q,J,10,9,8,7 x 4 semi]
Voglio calcolare quante mani contengono una coppia (ma non un gioco migliore).
La risoluzione data dal libro è la seguente:
Una coppia è una mano del tipo (X,X,Y,Z,W):
1) scegliamo il valore della coppia: 8 possibilità;
2) le 2 carte della coppia si possono scegliere tra le 4 del valore fissato in $((4),(2)) = 6$ modi;
3) i valori delle 3 scartine si possono scegliere tra i 7 modi disponibili in $((7),(3)) = 35$ modi;
4) la prima scartina si può scegliere ora in 4 modiM
5) lo stesso per la seconda;
6) lo stesso per la terza.
In tutto: $8*6*35*4^3 = 107520$ mani che contengono una coppia, la probabilità di averne una servita è quindi $107520/201376=0.5338=53.4%$
Il dubbio mi sorge al momento di calcolare i casi favorevoli per le scartine (punti 3,4,5 e 6). Per quanto riguarda il modo di scegliere le coppie ci sono, ossia faccio $8*C_[4,2]$, lasciando liberi "3 slot" in cui inserire altre carte che non formino una mano migliore della coppia (quindi devono essere, in valore, tutte diverse tra loro). Se scelgo la prima scartina, supponiamo sia un 7 di cuori, le altre due scartine non possono essere dei 7, quindi secondo me il conto che fa il libro ($C_[7,2]*4^3$) è errato, in quanto è come dire: calcolo le combinazioni di 7 carte dello stesso seme in 3 slot, e quindi le moltiplico per il numero di semi. Però cosi facendo non calcolo anche i casi in cui una carta si possa ripetere?
Cerco di spiegarmi meglio: io avrei detto che nelle 3 caselle libere, in cui devo inserire le scartine, posso scegliere la prima carta in 28 modi (32 carte totali meno le 4 che vanno a formare la prima coppia), la seconda la posso scegliere in 24 modi (le 24 precedenti meno le 4 tra cui ho scelto la prima scartina), mentre la terza la posso scegliere in 20 modi (24-4).
qualcuno potrebbe darmi il suo parere a riguardo? e magari, in caso il mio ragionamento fosse errato, farmi un esempio (anche stupidissimo) per capire bene il meccanismo che sta sotto questi calcoli?
Grazie in anticipo, saluti
Consideriamo una partita a poker tra 4 persone, in cui si usa un mazzo di 32 carte composto da [A,K,Q,J,10,9,8,7 x 4 semi]
Voglio calcolare quante mani contengono una coppia (ma non un gioco migliore).
La risoluzione data dal libro è la seguente:
Una coppia è una mano del tipo (X,X,Y,Z,W):
1) scegliamo il valore della coppia: 8 possibilità;
2) le 2 carte della coppia si possono scegliere tra le 4 del valore fissato in $((4),(2)) = 6$ modi;
3) i valori delle 3 scartine si possono scegliere tra i 7 modi disponibili in $((7),(3)) = 35$ modi;
4) la prima scartina si può scegliere ora in 4 modiM
5) lo stesso per la seconda;
6) lo stesso per la terza.
In tutto: $8*6*35*4^3 = 107520$ mani che contengono una coppia, la probabilità di averne una servita è quindi $107520/201376=0.5338=53.4%$
Il dubbio mi sorge al momento di calcolare i casi favorevoli per le scartine (punti 3,4,5 e 6). Per quanto riguarda il modo di scegliere le coppie ci sono, ossia faccio $8*C_[4,2]$, lasciando liberi "3 slot" in cui inserire altre carte che non formino una mano migliore della coppia (quindi devono essere, in valore, tutte diverse tra loro). Se scelgo la prima scartina, supponiamo sia un 7 di cuori, le altre due scartine non possono essere dei 7, quindi secondo me il conto che fa il libro ($C_[7,2]*4^3$) è errato, in quanto è come dire: calcolo le combinazioni di 7 carte dello stesso seme in 3 slot, e quindi le moltiplico per il numero di semi. Però cosi facendo non calcolo anche i casi in cui una carta si possa ripetere?
Cerco di spiegarmi meglio: io avrei detto che nelle 3 caselle libere, in cui devo inserire le scartine, posso scegliere la prima carta in 28 modi (32 carte totali meno le 4 che vanno a formare la prima coppia), la seconda la posso scegliere in 24 modi (le 24 precedenti meno le 4 tra cui ho scelto la prima scartina), mentre la terza la posso scegliere in 20 modi (24-4).
qualcuno potrebbe darmi il suo parere a riguardo? e magari, in caso il mio ragionamento fosse errato, farmi un esempio (anche stupidissimo) per capire bene il meccanismo che sta sotto questi calcoli?
Grazie in anticipo, saluti
Risposte
"BeNdErR":
Cerco di spiegarmi meglio: io avrei detto che nelle 3 caselle libere, in cui devo inserire le scartine, posso scegliere la prima carta in 28 modi (32 carte totali meno le 4 che vanno a formare la prima coppia), la seconda la posso scegliere in 24 modi (le 24 precedenti meno le 4 tra cui ho scelto la prima scartina), mentre la terza la posso scegliere in 20 modi (24-4).
Se dividi per il numero di permutazioni delle tre scartine ottieni lo stesso risultato del libro, no?
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