Esercizio Calcolo combinatorio

[Lullaby931]

Scusa..ho trovato un altro esercizio di calcolo combinatorio..puoi aiutarmi anche con questo? Lo scrivo qui dato che è dello stesso tipo..

Si considerano tre urne. L'urna i-esima contiene 6 palline rosse e i + 2 palline bianche, con
i = 1; 2; 3. Un'urna viene scelta a caso e da essa vengono estratte 2 palline.
(i) Ipotizzando che la legge di probabilità che regola la scelta casuale dell'urna sia l'uniforme (discreta),
calcolare la probabilità che le palline estratte siano 2 bianche.
(ii) Sotto le stesse ipotesi del punto precedente, supponendo che l'estrazione abbia dato come risultato 2
bianche, calcolare la probabilità che l'urna prescelta sia la i-esima. Qual e l'urna piu probabile data
una tale estrazione?
(iii) Ipotizzando ora che la legge di probabilità che regola la scelta casuale dell'urna sia incognita, trovare
quella che, nella classe delle possibili leggi, massimizzi la probabilità che le palline estratte siano 2
bianche.

Per il punto (i) ho provato ad usare la distribuzione ipergeomentrica:
Detto A l'evento "vengono estratte 2 bianche", ho scritto
$ P(A) = \frac[( (i+2), (2) )\cdot( (6), (0) ) ] [( (i+2+6), (2) ) ] = ... =\frac[(i+2)\cdot(i+1)] [(i+8)\cdot(i+7)] $

Siccome non so se stavolta ho scritto meglio, specifico che i seguenti sono tutti coefficienti binomiali
( (i+2), (2) )
( (6), (0) )
( (i+2+6), (2) )

per il punto (ii) avevo pensato di usare il teorema di Bayes
$ P(i|A) = \frac [P(A|i)\cdotP(i)] [P(A)] $
siccome la i varia e per definizione del teorema, dovrei fare una sommatoria e dovrei farla al denominatore. Ma cosa succede al numeratore? Non capisco..
per il punto (iii) non so proprio da dove cominciare

Grazie

[Lo_zio_Tom]

"Lullaby93":Lo scrivo qui dato che è dello stesso tipo..

no, va scritto in un topic tutto suo altrimenti diventa complicato leggere e capire le soluzioni. Gli esercizi postati devono servire a tutti gli utenti interessati e non solo a farti capire la soluzione (per questa volta te l'ho spostato io...)

più che dello stesso tipo diciamo che è identico all'altro, a parte il punto iii) dove c'è un po' da ragionare.

Non vedo nemmeno i risultati finali dei punti

i): $0.1328$

e


ii) ${{: ( Urna1 , 20.9% ),( Urna2 , 33.5% ),( Urna3 , 45.6% ) :}$

Quindi termina i due punti iniziali e vedi se riesci a risolvere (ti ho anche già messo i risultati)

Il punto iii) è davvero molto semplice

Considera che il punto i) si risolve così,

$1/12*p_1+2/15*p_2 +2/11(1-p_1-p_2)$

che evidentemente è massima quando $p_1=p_2=0$ e quindi quando $p_3=1$

[Lullaby931]

Grazie..
Ho provato a fare i conti e non mi trovo comunque. Ho posto $ p_1=3/9 $ e $ p_2=4/10 $ , giusto ?
mentre nel secondo usi il teorema di Bayes? e cosa indichi con le percentuali?

[Lo_zio_Tom]

"Lullaby93":
(i) Ipotizzando che la legge di probabilità che regola la scelta casuale dell'urna sia l'uniforme (discreta),

ovvero $p_1=p_2=p_3=1/3$

Quindi ora basta il teorema della probabilità totale....


$P(U_1|BB)=0.209$

$P(U_2|BB)=0.335$

$P(U_3|BB)=0.456$

[Lullaby931]

nemmeno sostituendo 1/3 mi trovo col tuo risultato..
e il punto (ii) mi resta ancora "oscuro"..sorry

[Lo_zio_Tom]

$P(BB)=1/3( ((3),(2)))/( ((9),(2)))+1/3( ((4),(2)))/( ((10),(2)))+1/3( ((5),(2)))/( ((11),(2)))=0.1328$

$P(U_1|BB)=(1/3( ((3),(2)))/( ((9),(2))))/(0.1328)=0.209$

$P(U_2|BB)=(1/3( ((4),(2)))/( ((10),(2))))/(0.1328)=0.335$

$P(U_3|BB)=(1/3( ((5),(2)))/( ((11),(2))))/(0.1328)=0.456$




un consiglio: è inutile cimentarsi in esercizi tutti uguali se non hai le idee chiare sulla teoria (IMHO)

[Lullaby931]

ho capito quello che hai fatto..anche se quel 2/15 non mi esce in nessun modo..ma non posso darti torto riguardo le mie idee poco chiare sull'argomento

Ti ringrazio

[Lo_zio_Tom]

devo fare una piccola ammenda.....come vedi ho corretto perché non viene esattamente $2/15$ ma $263/1980$

avevo fatto i conti con excel utlizzando il formato frazione e mi ha arrotondato il risultato alla frazione più vicina



riguardo al mio consiglio era SOLO E SOLTANTO una considerazione personale....nel senso che secondo me è meglio studiare bene la teoria e dopo fare esercizi....ma ripeto, è una considerazione personale

Inoltre, se posso permettermi un ulteriore consiglio, in questa stanza troverai centinaia di esercizi su questo e tutti gli altri argomenti di statistica base tutti risolti e commentati.....molti da me.

E' sicuramente una lettura istruttiva....

[Lullaby931]

aaa ecco!! allora mi trovo anche con i calcoli

considerazione alquanto giusta..diciamo che non amo molto le urne..alcuni esercizi li ho visti..proverò a vederne altri..
Grazie mille! Al prossimo esercizio!