Esercizio calcolo combinatorio

[Freddie92]

Ciao a tutti,

sto facendo qualche problema di calcolo combinatorio per delle ripetizioni, e purtroppo la dimestichezza non è più quella di un tempo...

Vi propongo questa domanda:

date 5 penne DIVERSE, in quanti modi è possibile disporle in 4 cassetti in modo che 3° E 4° non siano vuoti? Ci può essere più di una penna a cassetto, le penne sono fra loro diverse.

Io ho ragionato dicendo che non vuoti significa mettere almeno una penna nei cassetti 3 e 4. Ho pensato allora che la soluzione fosse

(5,2) * 4^3 = 640

ma la risposta giusta è 570.

Idee?

[superpippone]

Forse esiste un sistema più semplice, ma non l'ho trovato....
Io le ho praticamente contate.
Ai nostri fini, possiamo avere le seguenti suddivisioni:

4-1-0-0 = 10 casi
3-2-0-0 = 20 casi
3-1-1-0 = 120 casi
2-2-1-0 = 180 casi
2-1-1-1 = 240 casi

Totale $10+20+120+180+240=570$

Oppure si potrebbe fare anche così (la prima cifra indica le penne nel terzo cassetto, la seconda quelle nel quarto):
1-1 = 160
1-2 = 120
1-3 = 40
1-4 = 5
2-1 = 120
2-2 = 60
2-3 = 10
3-1 = 40
3-2 = 10
4-1 = 5

Il totale (ovviamente...) è sempre $570$

[orsoulx]

Forse il modo per non 'contarle' nei vari casi potrebbe essere: considerare le disposizioni delle 5 penne nei 4 cassetti $ 4^5=1024 $ e togliere quelle dove almeno uno dei due cassetti 3 e 4 resta vuoto $ 2 \cdot 3^5 = 486 $; bisogna però tener conto che in questo modo le disposizioni nelle quali i due cassetti restano entrambi vuoti vengono considerate due volte e quindi aggiungere ancora questo caso $ 2^5= 32 $. In definitiva $ 4^5-2 \cdot 3^5+2^5= 1024-486+32=570 $,
Ciao
B.