Esercizio Calcolo Combinatorio
Ciao a tutti,
vi sarei davvero grata se mi dareste una mano con questo esercizio di calcolo combinatorio:
Sia A l'insieme delle matrici 3x4 ad elementi nell'insieme delle parole ${0,1}$ di lunghezza minore di 6.
Calcolare il numero di elementi di A che soddisfano almeno una delle seguenti condizioni:
1. in nessuna delle caselle delle colonne pari vi sono parole di lunghezza pari;
2. nella terza riga vi sono solo parole con esattamente 2 occorrenze di 1.
Allora intanto chiamando X il primo insieme ed Y il secondo, la soluziona la ottengo calcolando $|XUY|=|X|+|Y|-|X \cap Y|$.
Io ho ragionato così, se ho sbagliato correggetemi
Considero appunto $X$ e ne calcolo la cardinalità considerando che nelle colonne pari ho solo parole di lunghezza dispari. Ora le parole di lunghezza dispari sono: $2$ (di lunghezza 1), $2^3$ (di lunghezza 3), $2^5$ (di lunghezza 5), e considerando B un insieme che contiene le parole di lunghezza dispari, esso sarà composto da 3 elementi: le parole di lunghezza 1, 3 e 5. (sono molto dubbiosa su questo ragionamento).
Quindi $|X|=(3^6)*(6^6)$.
Per quanto riguarda Y, noto che le parole che contengono 2 volte 1, devono necessariamente avere lunghezza 2, 3, 4 o 5.
Per cui, ragionando come prima $|Y|=(4^4)*(6^8)$.
Infine per quanto riguarda l'intersezione, riguarda gli elementi di posto 2 e 4 della terza riga: e contengono parole di lunghezza dispari che contengono 1 due volte, e quindi sono quelli di lunghezza 3 o 5. Allo stesso modo: $X \cap Y=(2^2)*(6^10)$.
Ditemi che c'è qualcosa da salvare in questo ragionamento
vi sarei davvero grata se mi dareste una mano con questo esercizio di calcolo combinatorio:
Sia A l'insieme delle matrici 3x4 ad elementi nell'insieme delle parole ${0,1}$ di lunghezza minore di 6.
Calcolare il numero di elementi di A che soddisfano almeno una delle seguenti condizioni:
1. in nessuna delle caselle delle colonne pari vi sono parole di lunghezza pari;
2. nella terza riga vi sono solo parole con esattamente 2 occorrenze di 1.
Allora intanto chiamando X il primo insieme ed Y il secondo, la soluziona la ottengo calcolando $|XUY|=|X|+|Y|-|X \cap Y|$.
Io ho ragionato così, se ho sbagliato correggetemi
Considero appunto $X$ e ne calcolo la cardinalità considerando che nelle colonne pari ho solo parole di lunghezza dispari. Ora le parole di lunghezza dispari sono: $2$ (di lunghezza 1), $2^3$ (di lunghezza 3), $2^5$ (di lunghezza 5), e considerando B un insieme che contiene le parole di lunghezza dispari, esso sarà composto da 3 elementi: le parole di lunghezza 1, 3 e 5. (sono molto dubbiosa su questo ragionamento).
Quindi $|X|=(3^6)*(6^6)$.
Per quanto riguarda Y, noto che le parole che contengono 2 volte 1, devono necessariamente avere lunghezza 2, 3, 4 o 5.
Per cui, ragionando come prima $|Y|=(4^4)*(6^8)$.
Infine per quanto riguarda l'intersezione, riguarda gli elementi di posto 2 e 4 della terza riga: e contengono parole di lunghezza dispari che contengono 1 due volte, e quindi sono quelli di lunghezza 3 o 5. Allo stesso modo: $X \cap Y=(2^2)*(6^10)$.
Ditemi che c'è qualcosa da salvare in questo ragionamento
Risposte
"fedexxx":
Ciao a tutti,
vi sarei davvero grata se mi dareste una mano con questo esercizio di calcolo combinatorio:
Sia A l'insieme delle matrici 3x4 ad elementi nell'insieme delle parole ${0,1}$ di lunghezza minore di 6.
Calcolare il numero di elementi di A che soddisfano almeno una delle seguenti condizioni:
1. in nessuna delle caselle delle colonne pari vi sono parole di lunghezza pari;
2. nella terza riga vi sono solo parole con esattamente 2 occorrenze di 1.
Allora intanto chiamando X il primo insieme ed Y il secondo, la soluziona la ottengo calcolando $|XUY|=|X|+|Y|-|X \cap Y|$.
Io ho ragionato così, se ho sbagliato correggetemi
Considero appunto $X$ e ne calcolo la cardinalità considerando che nelle colonne pari ho solo parole di lunghezza dispari. Ora le parole di lunghezza dispari sono: $2$ (di lunghezza 1), $2^3$ (di lunghezza 3), $2^5$ (di lunghezza 5),
fin qui tutto OK
e considerando B un insieme che contiene le parole di lunghezza dispari, esso sarà composto da 3 elementi: le parole di lunghezza 1, 3 e 5. (sono molto dubbiosa su questo ragionamento).
come hai calcolato correttamente, le parole sono $2^1+2^3+2^5=2+8+32=42$, non $3$
Quindi $|X|=(3^6)*(6^6)$.
non è chiaro se le parole "vuote", cioè l'unica parola formata da nessuna "lettera" vada considerata di lunghezza pari oppure non vada considerata come parola ammissibile, comunque, a parte questo, tutte le parole di lunghezza minore di 6 sono 62 oppure 63 (alle precedenti 42 vanno aggiunte $2^4+2^2=20$ oppure $2^0+2^2+2^4=21$ di lunghezza pari)
Per quanto riguarda Y, noto che le parole che contengono 2 volte 1, devono necessariamente avere lunghezza 2, 3, 4 o 5.
Per cui, ragionando come prima $|Y|=(4^4)*(6^8)$.
Infine per quanto riguarda l'intersezione, riguarda gli elementi di posto 2 e 4 della terza riga: e contengono parole di lunghezza dispari che contengono 1 due volte, e quindi sono quelli di lunghezza 3 o 5. Allo stesso modo: $X \cap Y=(2^2)*(6^10)$.
Ditemi che c'è qualcosa da salvare in questo ragionamento
mi sono un po' persa, ma devo darti anche il tempo di prendere nota delle osservazioni e di correggere. ciao.
Ho capito il ragionamento, e ti ringrazio davvero tanto per l'aiuto! 
Ciao, scusa se disturbo ancora, ma non so se questo esercizio è corretto:
il testo che si divide in due parti dice:
1. Si consideri B l'insieme delle parole di lunghezza 6 sull'alfabeto {0,1}. Si considerino le funzione $f: B \rightarrow B$ tali che ad ogni parola di lunghezza 6 è associata una parola di lunghezza 6 con lo stesso numero di 1. Calcolare il numero di tali funzioni.
2. Sia $f_{0}$ una funzione che ad ogni sequenza di {0,1} di lunghezza 6 associa la sequenza con lo stesso numero di 1 e che ha all'inizio tutti gli 0 seguiti da tutti gli 1. (Ad esempio sia la sequenza 011000 che 100010 hanno come immagine 000011). Che cosa costituiscono gli insiemi delle antiimmagini di $f_{0}$?
Per quanto riguarda la prima parte mi sono calcolata quante parole con 0, 1, 2,3, 4, 5 e 6 volte 1 vi sono. Poiché ad ogni parola di uno degli insiemi con 0,..,6 volte 1 ne associo una che ha 0,..,6 volte 1, allora, secondo me devo sommare le funzioni che associano a parole con 0 volte 1, parole con 0 volte 1 e così via.
Facendo i calcoli ho trovato che ho: 1 parola con 0 volte 1, 6 con 1 volta 1, 15 con 2 volte 1, 20 con 3 volte 1, 15 con 4 volte 1, 6 con 5 volte 1 e 1 con 6 volte 1.
Per cui sarebbero: $1+(6^6)+(15^15)+(20^20)+(15^15)+(6^6)+1$.
E' corretto?
Per quanto riguarda il punto 2 non so da dove partire.
Aiuto!!
il testo che si divide in due parti dice:
1. Si consideri B l'insieme delle parole di lunghezza 6 sull'alfabeto {0,1}. Si considerino le funzione $f: B \rightarrow B$ tali che ad ogni parola di lunghezza 6 è associata una parola di lunghezza 6 con lo stesso numero di 1. Calcolare il numero di tali funzioni.
2. Sia $f_{0}$ una funzione che ad ogni sequenza di {0,1} di lunghezza 6 associa la sequenza con lo stesso numero di 1 e che ha all'inizio tutti gli 0 seguiti da tutti gli 1. (Ad esempio sia la sequenza 011000 che 100010 hanno come immagine 000011). Che cosa costituiscono gli insiemi delle antiimmagini di $f_{0}$?
Per quanto riguarda la prima parte mi sono calcolata quante parole con 0, 1, 2,3, 4, 5 e 6 volte 1 vi sono. Poiché ad ogni parola di uno degli insiemi con 0,..,6 volte 1 ne associo una che ha 0,..,6 volte 1, allora, secondo me devo sommare le funzioni che associano a parole con 0 volte 1, parole con 0 volte 1 e così via.
Facendo i calcoli ho trovato che ho: 1 parola con 0 volte 1, 6 con 1 volta 1, 15 con 2 volte 1, 20 con 3 volte 1, 15 con 4 volte 1, 6 con 5 volte 1 e 1 con 6 volte 1.
Per cui sarebbero: $1+(6^6)+(15^15)+(20^20)+(15^15)+(6^6)+1$.
E' corretto?
Per quanto riguarda il punto 2 non so da dove partire.
Aiuto!!
Per quanto riguarda il primo quesito, i calcoli parziali sono corretti, ma i numeri da te trovati non vanno sommati (perché non si tratta di funzioni tra sottoinsiemi di B, ma da B a B) ma moltiplicati: le singole funzioni vanno studiate su tutti gli elementi di B e sulle loro rispettive immagini. spero sia chiaro.
per quanto riguarda il punto 2, da quali elementi è costituita la controimmagine di 000011? da tutte le parole di 6 cifre con 4 zeri e 2 uno: io direi che si tratta di una classe di equivalenza...
ciao.
per quanto riguarda il punto 2, da quali elementi è costituita la controimmagine di 000011? da tutte le parole di 6 cifre con 4 zeri e 2 uno: io direi che si tratta di una classe di equivalenza...
ciao.
Si, chiarissimo! Grazie mille veramente! 
prego!
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