Esercizio binomiale e approssimazione poissoniana
Salve. Ho studiato la teoria di statistica, che ho (abbastanza) capito, però quando bisogna mettere in pratica i concetti, entro in difficoltà. anche perchè il professore ti da gli esercizi e la soluzione, però non ti dice il perchè e il procedimento! 
Comunque, posto un esercizio come esempio:
La cavalleria del regno A conta un numero di cavalieri pari a n=10000 (e altrettanti cavalli). La probabilità per anno che un cavaliere sia ucciso da un calcio di cavallo è di p:2 10^(-5). Qual'è la probabilità che in un anno solare
1)non vi siano fatalità dovute al calcio di un cavallo
2)vi sia esattamente una fatalità
3)vi siano esattamente due fatalità
4)vi siano più di 2 fatalità
Ora la risoluzione. Riguardo al 1) io credo bisogna calcolare la funzione di Sopravvivenza. S(x) = 1-F(x) F(x)=P(t
E riguardo gli altri punti?
Ho un altro piccolo dubbio: Prendiamo un evento E con rate di [lambda]= 1/100 milioni di anni (10^(-8) ). Se siamo perfettamente a metà 2010, qual'è la probabilità che entro il 2011 non si verifichi l'evento E? e la probabilità che non si verifichi entro il 2012?
credo che anche qua si applichi la funzione di sopravvivenza. Ma devo considerare l'anno come X, cioè come limite superiore dell'integrale della funzione di sopravvivenza? E per calcolare la probabilità che non si verifichi entro il 2011 ma si verifichi entro il 2012, devo impostare l'integrale con i limiti inferiore a 2011 e superiore a 2012 ?
ps: per calcolarne invece il valore atteso?
grazie mille!! scusate se magari per voi sono domande banali e scontate. sarà che le dispense del professore spiegano male, parlano solo di teoria senza fare esempi di esercizi, ma poi all'esame chiede solo esercizi come questi, e niente di teoria!
Comunque, posto un esercizio come esempio:
La cavalleria del regno A conta un numero di cavalieri pari a n=10000 (e altrettanti cavalli). La probabilità per anno che un cavaliere sia ucciso da un calcio di cavallo è di p:2 10^(-5). Qual'è la probabilità che in un anno solare
1)non vi siano fatalità dovute al calcio di un cavallo
2)vi sia esattamente una fatalità
3)vi siano esattamente due fatalità
4)vi siano più di 2 fatalità
Ora la risoluzione. Riguardo al 1) io credo bisogna calcolare la funzione di Sopravvivenza. S(x) = 1-F(x) F(x)=P(t
E riguardo gli altri punti?
Ho un altro piccolo dubbio: Prendiamo un evento E con rate di [lambda]= 1/100 milioni di anni (10^(-8) ). Se siamo perfettamente a metà 2010, qual'è la probabilità che entro il 2011 non si verifichi l'evento E? e la probabilità che non si verifichi entro il 2012?
credo che anche qua si applichi la funzione di sopravvivenza. Ma devo considerare l'anno come X, cioè come limite superiore dell'integrale della funzione di sopravvivenza? E per calcolare la probabilità che non si verifichi entro il 2011 ma si verifichi entro il 2012, devo impostare l'integrale con i limiti inferiore a 2011 e superiore a 2012 ?
ps: per calcolarne invece il valore atteso?
grazie mille!! scusate se magari per voi sono domande banali e scontate. sarà che le dispense del professore spiegano male, parlano solo di teoria senza fare esempi di esercizi, ma poi all'esame chiede solo esercizi come questi, e niente di teoria!
Risposte
Non capisco perchè usi la funzione di sopravvivenza.
Io ragionerei così:
chiamiamo $X$ il numero di "incidenti" e questa si distribuisce ovviamente come una binomiale. Consideriamo però che $n$ è molto grande e $p$ è molto piccolo; in questo caso possiamo tranquillamente approssimare la binomiale con una Poisson di parametro $\lambda=np$ (questo va bene in genere quando $n>50$ e $p<0.1$).
Abbiamo quindi $X\simP(0.2)$
A questo punto, usando la funzione di probabilità della Poisson:
1)$P(X=0)=e^(-0.2)*((0.2^0)/(0!))$
2 e 3) Stessa cosa, con $X=1$ e $X=2$
4)$P(X>2)=1-P(X<=2)=1-\sum_{x=0}^2 e^(-0.2)*((0.2^x)/(x!))$
Coincide coi risultati che hai??
Io ragionerei così:
chiamiamo $X$ il numero di "incidenti" e questa si distribuisce ovviamente come una binomiale. Consideriamo però che $n$ è molto grande e $p$ è molto piccolo; in questo caso possiamo tranquillamente approssimare la binomiale con una Poisson di parametro $\lambda=np$ (questo va bene in genere quando $n>50$ e $p<0.1$).
Abbiamo quindi $X\simP(0.2)$
A questo punto, usando la funzione di probabilità della Poisson:
1)$P(X=0)=e^(-0.2)*((0.2^0)/(0!))$
2 e 3) Stessa cosa, con $X=1$ e $X=2$
4)$P(X>2)=1-P(X<=2)=1-\sum_{x=0}^2 e^(-0.2)*((0.2^x)/(x!))$
Coincide coi risultati che hai??
"Arado90":
Non capisco perchè usi la funzione di sopravvivenza.
Era una nota che c'era sulle slide del professore. Diceva che il punto 1 è equivalente a calcolare la funzione di sopravvivenza.
Io ragionerei così:
chiamiamo $X$ il numero di "incidenti" e questa si distribuisce ovviamente come una binomiale. Consideriamo però che $n$ è molto grande e $p$ è molto piccolo; in questo caso possiamo tranquillamente approssimare la binomiale con una Poisson di parametro $\lambda=np$ (questo va bene in genere quando $n>50$ e $p<0.1$).
Abbiamo quindi $X\simP(0.2)$
come mai P(0,2)? come l'hai calcolato?
A questo punto, usando la funzione di probabilità della Poisson:
1)$P(X=0)=e^(-0.2)*((0.2^0)/(0!))$
2 e 3) Stessa cosa, con $X=1$ e $X=2$
4)$P(X>2)=1-P(X<=2)=1-\sum_{x=0}^2 e^(-0.2)*((0.2^x)/(x!))$
Coincide coi risultati che hai??
In realtà ho preso l'esercizio dell'esame scorso, l'unico senza soluzione
Ho preso quello perchè ha cambiato leggermente il programma, e ci sono gli esercizi più indicativi. Però senza soluzione, quindi non so dirti se coincide.
come mai P(0,2)? come l'hai calcolato?
Come detto, approssimo la Binomiale con una Poisson di parametro $\lambda=np$. Dunque $10.000*0,00002=0,2 \Rightarrow X\simP(\lambda=0,2)$
Quoto Arado90 soluzione giustissima!
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