Esercizio binomiale

[Larios1]

Una piccola banca fa prestiti a $m$ suoi clienti. La probabilità che un cliente restituisca il debito è $p$

1. Come è distribuita la variabile casuale $D_m=$"Numero di clienti che non restituiranno il debito"? Si esprima il valore atteso di $D_m$ in funzione di $m$ e $p$

La distribuzione segue una legge binomiale di parametri m e p. e $E(D_m)=m*p$



2.(e qui non riesco proprio a capire come procedere...) Sia $ 0
Si dimostri che:

a) $r(a,m,p)=P(D2_m \leq a* sqrt((m/(p*(1-p)))))$
b) $r(a,m,p) \geq P(D2_m \leq 2 *a* sqrt(m))$

Qualcuno puo' darmi un suggerimento su come procedere per le dimostrazioni?
Che significato ha $r(a,m,p)$ se siamo su una distribuzione binomiale?

[clrscr]

Non capisco una cosa:

$D2_m=2*D_m$?

Grazie

[clrscr]

Intanto rispondo alla a).

Partiamo da:

$r(a,m,p)=P[D_m<=E(D_m)+a*m]$

Ricordando che $E(D_m)=m*p$ e $var(D_m)=m*p*(1-p)$, dalla formula che descrive $D2_m$ si ricava $D_m=D2_m*sqrt(var(D_m))+E(D_m)$.

Sostituendo questa espressione in quella descrta in alto si ottiene:

$P[D_m<=E(D_m)+a*m]=P[D2_m*sqrt(var(D_m))+E(D_m)<=E(D_m)+a*m]$

Da cui la conclusione.

[Larios1]

quel $D2_m$ è da considerare solo come nome di un'altra variabile casuale.
Grazie per la risposta, provo a fare la seconda parte

[clrscr]

Vediamo se il mio ragionamento regge...

Punto 2)

Sostituendo l'espressione di $D2_m$ si ottiene:

$P[D2_m<=2*a*sqrt(m)]=P[D_m<=2*a*m*sqrt(p*(1-p))+E[D_m]]$

Per verificare la tesi proposta dobbiamo dimostrare che $P[D_m<=2*a*m*sqrt(p*(1-p))+E[D_m]]<=P[D_m<=E[D_m]+a*m]$.

Disegnando la distribuzione di una Binomiale, si può osservare che per valori maggiori di $E[D_m]$ la disequazione è dimostrata se:

$2*a*m*sqrt(p*(1-p))+E[D_m] <= E[D_m]+a*m $ cioè se $2*sqrt(p(1-p)) <= 1$.

Essendo $0<=sqrt(p*(1-p))<=0.5$ si ottiene il risultato voluto.