Esercizio A e B si sfidano a dama

[kiop01]

Ciao, ho il seguente esercizio:

Due amici A e B si sfidano a dama facendo un gran numero di
partite. Supponiamo che i risultati delle partite siano indipendenti e che A
vinca B in una singola partita con probabilità 1/2, pareggi con probabilità
1/10 e perda con probabilità 4/10. Si indichi con N il numero di partite
giocate affinché ci sia la prima partita pareggiata.
a) Qual è la distribuzione di N?
b) Sapendo che N = 2, qual è la probabilità che la prima partita sia stata
vinta da A?
c) Calcolare approssimativamente qual è la probabilità che, dopo 100 pa
tite, A superi B di almeno 10 vittorie?

nel punto a) ho utilizzato la variabile aleatoria geometrica con parametro p=1/10 cioè $(1/10)(1-(1/10))^(n-1)$

nel punto b) sappiamo che ogni partita è indipendente quindi la probabilità che A abbia vinto nella prima partita è semplicemente $1/2$

nel punto c) non so come andare avanti, credo che si possa usare in qualche modo l'approssimazione normale per la binomiale ma non riesco a trovare la logica, qualcuno sa come procedere?

Grazie in anticipo

[ghira1]

"kiop01":
nel punto b) sappiamo che ogni partita è indipendente quindi la probabilità che A abbia vinto nella prima partita è semplicemente $1/2$

Siamo sicuri? La prima partita è stata vinta da qualcuno.

[ghira1]

"kiop01":
nel punto c) non so come andare avanti, credo che si possa usare in qualche modo l'approssimazione normale per la binomiale ma non riesco a trovare la logica, qualcuno sa come procedere?

Non la binomiale. Hai la somma di 100 variabili casuali con distribuzione $P(1)=0,5, P(0)=0,1, P(-1)=0,4$.

Catena di Markov o teorema centrale del limite a questo punto, direi.

[kiop01]

"ghira":

Siamo sicuri? La prima partita è stata vinta da qualcuno.

Hai ragione, allora direi $(P(A)*P(p))/(P(A)*P(p)+P(B)*P(p))=5/9$

con P(A)=probabilità che A vinca una partita, P(B)=probabilità B vinca una partita e P(p)=probabilità di un pareggio

[ghira1]

"kiop01":direi $(P(A)*P(p))/(P(A)*P(p)+P(B)*P(p))=5/9$

con P(A)=probabilità che A vinca una partita, P(B)=probabilità B vinca una partita e P(p)=probabilità di un pareggio

Più semplicemente:

Prob. che la prima partita sia stata vinta da A, dato che è stata vinta da qualcuno.

$\frac{P(A)}{P(A)+P(B)}=5/9$

[ghira1]

"kiop01":
c) Calcolare approssimativamente qual è la probabilità che, dopo 100 partite, A superi B di almeno 10 vittorie?

Con una catena di Markov ottengo 0,522419743

Ma vorranno il teorema centrale del limite, mi sa.

[kiop01]

esattamente, io usando $P(Z<=(a-n*E[X])/(sqrt(n*Var[X])))$ ottengo che siccome n=100 e a=10 allora $a-n*(1/10)=0$ e quindi dalle tabelle gaussiane $P(Z<=0)=0.5$ è possibile?

[ghira1]

"kiop01":esattamente, io usando $P(Z<=(a-n*E[X])/(sqrt(n*Var[X])))$ ottengo che siccome n=100 e a=10 allora $a-n*(1/10)=0$ e quindi dalle tabelle gaussiane $P(Z<=0)=0.5$ è possibile?

Non vuoi $Z\ge$ qualcosa? O hai invertito le cose perché le tabelle... hmm ok... E da qualche parte userei 9,5 invece di 10.

[kiop01]

"ghira":
Non vuoi $Z\ge$ qualcosa? O hai invertito le cose perché le tabelle... hmm ok... E da qualche parte userei 9,5 invece di 10. O 10,5 invece di 10.

Ti riferisci ad a? perché non dovrei porlo =10?

[ghira1]

Se vogliono la probabilità di esattamente 10 cosa fai?

[kiop01]

"ghira":Se vogliono la probabilità di esattamente 10 cosa fai?

Forse dovrei fare l'integrale tra 9,5 e 10,5 della distribuzione normale?

[ghira1]

Sì. Quindi in questo caso da $9,5$ a $\infty$.

[kiop01]

Grazie mille per il tuo aiuto, finalmente ho capito

[ghira1]

E adesso cosa ottieni per (c)? E cosa faresti per avere la risposta (quasi) esatta?

[kiop01]

calcolerei $ P(Z<=(a-n*E[X])/(sqrt(n*Var[X]))) $ con a=9,5 ottenendo $P(|-0,5|/sqrt(89))=P(Z<=0,052999894)$ e dalle tabelle ottengo che la probabilità ricercata è $0.51994$ visto che la distribuzione normale è simmetrica

[ghira1]

Non ho controllato i valori numerici ma sembra ragionevole.

[kiop01]

grazie