Esercizietto facile facile... non per me
non mi sono mai trovata ad avere niente a che fare col calcolo delle probabilità ma adesso dovrei risolvere quest'esercizio...
Siano A e B due insiemi tali che |A| = 8, |B| = 6 e |A∩B| = 4: Quanti sono i possibili
sottoinsiemi di AUB che contengono almeno un elemento di A?
mi hanno suggerito di risolverlo con la formula 2^2(2^8-1), ma perché?
vorrei capire come funziona...
Siano A e B due insiemi tali che |A| = 8, |B| = 6 e |A∩B| = 4: Quanti sono i possibili
sottoinsiemi di AUB che contengono almeno un elemento di A?
mi hanno suggerito di risolverlo con la formula 2^2(2^8-1), ma perché?
vorrei capire come funziona...
Risposte
"Pixy":
non mi sono mai trovata ad avere niente a che fare col calcolo delle probabilità ma adesso dovrei risolvere quest'esercizio...
Siano A e B due insiemi tali che |A| = 8, |B| = 6 e |A∩B| = 4: Quanti sono i possibili
sottoinsiemi di AUB che contengono almeno un elemento di A?
mi hanno suggerito di risolverlo con la formula 2^2(2^8-1), ma perché?
vorrei capire come funziona...
allora ti do una possibile soluzione della quale non sono sicuro. . . allora inanzi tutto prendo l'ipotesi che con la terminologia che hai usato il |A| si intende il numero degli elementi in A.
detto questo io ho ragionato mediante diagrammi di ven. In un insieme non ci sn elementi ripetuti pertanto se A ha 8 elementi, B ne ha 6 e 4 sn in comune significa che:
1) gli elementi che appartengono solo ad A sono 4
2) gli elementi che appartengono solo a B sono 2
3) gli elementi che appartengono a entrambi sn 4
come risulta chiaro dagli schemi di Venn.
pertanto l'unione dei due insiemi ti indica gli elementi che siano o in A o in B ed essi corrispondono a: 10
allora io ho un totale di 10 elementi quanti sottoinsiemi posso avere che contengano almeno un elemento di A?
allora hai:
$ [( ( 10 ),( 1 ) ) -2 ] + [( ( 10 ),( 2 ) ) - 1] + [( ( 10 ),( 3 ) )] $ ...... fino a $( ( 10 ),( 10 ) )$ escluso perchè riferito l'insieme unione stesso
ho usato il binomiale perchè mi dice in quanti modo posso combinare n elementi presi a gruppi di k ?
come vedi nel primo caso prendo tutti i sotto insiemi formati da un elemento, meno i due casi in cui l'unico elemento è quello di B... eccetera
ripeto non sono sicuro della correttezza
Sono d'accordo con la cardinalità dell'unione: $|AuuuB|=|A|+|B|-|A\cap B|=8+6-4=10$
Il numero di sottoinsiemi diversi che si possono formare con gli elementi di $|AuuuB|$ è allora $\sum_(k=0)^(10)((10),(k))=2^10$ (comprensivo dell'insieme vuoto).
Da questo numero dobbiamo poi sottrarre il numero di sottoinsiemi formati da soli elementi di $B$ (non contengono nessun elemento di A), che ne sono $2^2$ (la cardinalità $|B-A|=2$ come ha detto giustamente Clod.
Otteniamo quindi $2^10-2^2=2^2*(2^8-1)$ che mi sembra la formula riportata da Pixy.
Il numero di sottoinsiemi diversi che si possono formare con gli elementi di $|AuuuB|$ è allora $\sum_(k=0)^(10)((10),(k))=2^10$ (comprensivo dell'insieme vuoto).
Da questo numero dobbiamo poi sottrarre il numero di sottoinsiemi formati da soli elementi di $B$ (non contengono nessun elemento di A), che ne sono $2^2$ (la cardinalità $|B-A|=2$ come ha detto giustamente Clod.
Otteniamo quindi $2^10-2^2=2^2*(2^8-1)$ che mi sembra la formula riportata da Pixy.
"cenzo":
Sono d'accordo con la cardinalità dell'unione: $|AuuuB|=|A|+|B|-|A\cap B|=8+6-4=10$
Il numero di sottoinsiemi diversi che si possono formare con gli elementi di $|AuuuB|$ è allora $\sum_(k=0)^(10)((10),(k))=2^10$ (comprensivo dell'insieme vuoto).
Da questo numero dobbiamo poi sottrarre il numero di sottoinsiemi formati da soli elementi di $B$ (non contengono nessun elemento di A), che ne sono $2^2$ (la cardinalità $|B-A|=2$ come ha detto giustamente Clod.
Otteniamo quindi $2^10-2^2=2^2*(2^8-1)$ che mi sembra la formula riportata da Pixy.
ecco cosa mancava
io non avevo considerato il vuoto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo