Esercizi vari: un aiuto

[Pisquito]

Salve,vorrei un aiuto su questi 2 esercizi di probabilità

1) In quanti modi posso disporre quattro simboli in cinque caselle così che solo uno di essi sia ripetuto 2 volte?

io ho operato così:
5!
______ = 60
2!

giusto?


2) In quanti modi cinque amici (A, B, C, D ,E) possono disporsi intorno ad un tavolo rettangolare a 6 posti così che A e B capitino vicini?

Essendo il tavolo rettangolare e quindi con 2 capitavola in cui può sedersi solo una persona, le uniche possibilità che hanno 2 amici di sedersi vicini sono 2 per ciascuno ( una volta da un lato e una dall'altro) quindi ho operato così :

6!
_______= 180
2! 2!

giusto???

Grazie mille in anticipo a chi risponderà e eventualmente avrò sbagliato, mi darà delucidazioni sugli errori

[wnvl]

1.

\(\displaystyle \frac{4 \cdot 5!}{2!} \)

spiegazione:

4->scelta simbolo che appare 2 volte
5!->permutazioni 5 simboli
2!->2 simboli sono gli stessi

[Pisquito]

"wnvl":1.

\(\displaystyle \frac{4 \cdot 5!}{2!} \)

spiegazione:

4->scelta simbolo che appare 2 volte
5!->permutazioni 5 simboli
2!->2 simboli sono gli stessi

puoi spiegarmi meglio il passaggio segnato in grassetto,grazie?

"Sergio":[quote="Pisquito"]2) In quanti modi cinque amici (A, B, C, D ,E) possono disporsi intorno ad un tavolo rettangolare a 6 posti così che A e B capitino vicini?

Essendo il tavolo rettangolare e quindi con 2 capitavola in cui può sedersi solo una persona, le uniche possibilità che hanno 2 amici di sedersi vicini sono 2 per ciascuno ( una volta da un lato e una dall'altro) quindi ho operato così :

6!
_______= 180
2! 2!

Mi sembra che le permutazioni con ripetizione in questo caso c'entrino poco, anche perché i due amici che devono capitare vicini sono fissati.
Inoltre, non sono sicuro che vadano escluse le situazioni in cui A o B sieda a un lato corto del rettangolo. DIstinguiamo comunque le due situazioni, che possono essere entrambi interessanti.

1) "Sedere vicini" vuol dire "sedere allo stesso lato lungo del tavolo rettangolare".
Vi sono 2 possibili lati corti, ciascuno con due posti, ciascuno dei quali occupabile da A o da B; una volta scelto il posto di A, quello di B è determinato (e viceversa), quindi i casi possibili sono quelli per A: 4.
Vi sono poi altri 4 posti, tre occupati da C,D,E e uno vuoto, per 4! casi possibili.
Totale: \(4\cdot 4!=96\).

2) "Sedere vicini" vuol dire... "sedere vicini" e basta, cioè A e B siedono vicini anche se uno dei due siede al lato corto, come se il tavolo fosse tondo.
In questo caso, non solo non importa il lato (lungo o corto), ma non importa nemmeno in quale posto sieda A (oppure B, ed è lo stesso): una volta che A si è seduto, vi sono 2 posti per B (alla sua destra o alla sua sinistra) e 4! casi per gli altri posti.
Totale: \(2\cdot 4!=48\).
Da notare che il calcolo è diverso da quello se si avrebbe se i tizi sedessero su sedie in fila invece che intorno a un tavolo. Se sedessero su 6 sedie in fila, vi sarebbero 5 coppie di posti vicini (12, 23, 34, 45, 56), 2 modi di farvi sedere A e B, 4! modi di assegnare gli altri posti: \(5\cdot 2\cdot 4!=240\).
Se invece si siedono intorno a un tavolo, situazioni come ABCDEV e VABCDE (indico con V la sedia vuota) sono equivalenti, ma sono equivalenti ad esse anche situazioni come BCDEVA, CDEVAB ecc. perché non esiste un ordine dei posti intorno a un tavolo tondo. Si tratta quindi di vedere cosa può succedere una volta fatto sedere A su qualche sedia, non importa quale.

Per rendere l'idea, propongo un altro esercizio un po' diverso: in quanti modi 5 uomini e 5 donne possono sedere alternandosi (no 2/+ uomini/donne vicini) a) su sedie in fila, b) intorno a un tavolo tondo?
a) 5 modi per scegliere un uomo, 5 per scegliere poi una donna, 4 per scegliere il secondo uomo, 4 per la seconda donna ecc., quindi \(5!\cdot 5!\); ma si può cominciare anche da una donna, quindi: \(2\cdot 5!\cdot 5!\);
b) non esiste un ordine dei posti, quindi una volta fatto sedere un uomo (o una donna) vi sono \(4!\) casi per gli altri uomini (o donne) e \(5!\) per le donne (gli uomini): \(4!\cdot 5!\).[/quote]

grazie sergio, sei stato di grande aiuto

[Pisquito]

"Sergio":[quote="Pisquito"]4->scelta simbolo che appare 2 volte
5!->permutazioni 5 simboli
2!->2 simboli sono gli stessi

puoi spiegarmi meglio il passaggio segnato in grassetto,grazie?

Giornate molto intense queste mie, ma ora ho deciso di concedermi una pausa e provo a rispondere io (wnvl mi perdonerà ).
Il problema era: In quanti modi posso disporre quattro simboli in cinque caselle così che solo uno di essi sia ripetuto 2 volte?
Indicando con \(()\) una delle cinque caselle e con A,B,C,D i quattro simboli, è evidente che per riempire tutte le cinque caselle bisogna ripetere qualche simbolo.
In generale, il numero dei casi possibili è dato dalle disposizioni con ripetizione di 5 elementi (le caselle) di classe 4 (i simboli): \(D'_{n,k}=4^5\). In questo numero sono compresi anche casi come \((A)(A)(A)(A)(A),\; (A)(B)(B)(C)(C)\) ecc.
Ma bisogna limitarsi ai casi in cui un solo simbolo è ripetuto due volte.
Se scelgo di ripetere A, ho casi del tipo \((A)(A)(B)(C)(D),\;(A)(B)(A)(C)(D)\) ecc.
Il numero di questi casi (una volta scelto A), è uguale al numero delle permutazioni di cinque oggetti in cui un solo oggetto viene ripetuto due volte: \(\displaystyle \frac{5!}{2!1!1!1!}=\frac{5!}{2!} \).
D'altra parte, potrei scegliere B,C,D invece di A: quattro possibilità.
Il totale dei casi possibili è quindi \(\displaystyle 4\cdot\frac{5!}{2!} \).[/quote]
ancora grazie, non ce l'avrei fatta a capire senza il tuo aiuto