Esercizi vari probabilità
Salve,vorrei condividere con voi alcuni esercizi di probabilità e statistica su cui ho dei dubbi,riportandovi anche la mia personale interpretazione.
1)Non conosco l'ultimo numero di una cassaforte,qual è la probabilità di effettuare AL PIù 4 tentativi per indovinare l'ultimo numero?
SOL: ho pensato di calcolare la probabilità di indovinare il numero come p=1/10 e poi applicare il modello Binomiale con p=0,1 e n=10. Il problema è che la
probabilità e di pochissimo inferiore a 1,e con le dovute approssimazioni mi da proprio 1!
2)Ho 50 palline, cadono una dopo l'altra casualmente in 3 cesti, A, B, e C.Le palline hanno uguale probabilità di cadere in uno dei 3 cesti.
Qual è la probabilità che nel cesto A vadano ALMENO 3 palline ?
SOL: ho pensato di impostare il modello binomiale con p=1/3 ed n=50
$pr{y>=3}=1-pr{y<3}=ecc...$
3)Il diametro dei dischi di precisione è affetto solo da errori casuali.Con varianza $sigma^2=16$.Quanti ne devo controllare per trovarne, con probabilità maggiore del 99,9%, ALMENO uno affetto da errore minore di 7,5 micron?
SOL: siccome ho solo errori casuali posso considerare la distribuzione gaussiana standard con media=0 e $sigma=4$,per cui ho valutato la probabilità $pr{u<(7,5)/4}=0,97$ dopodichè ho usato il modello geometrico con p=0,97 e ho proceduto per tentativi
Grazie per l'interessamento.
1)Non conosco l'ultimo numero di una cassaforte,qual è la probabilità di effettuare AL PIù 4 tentativi per indovinare l'ultimo numero?
SOL: ho pensato di calcolare la probabilità di indovinare il numero come p=1/10 e poi applicare il modello Binomiale con p=0,1 e n=10. Il problema è che la
probabilità e di pochissimo inferiore a 1,e con le dovute approssimazioni mi da proprio 1!
2)Ho 50 palline, cadono una dopo l'altra casualmente in 3 cesti, A, B, e C.Le palline hanno uguale probabilità di cadere in uno dei 3 cesti.
Qual è la probabilità che nel cesto A vadano ALMENO 3 palline ?
SOL: ho pensato di impostare il modello binomiale con p=1/3 ed n=50
$pr{y>=3}=1-pr{y<3}=ecc...$
3)Il diametro dei dischi di precisione è affetto solo da errori casuali.Con varianza $sigma^2=16$.Quanti ne devo controllare per trovarne, con probabilità maggiore del 99,9%, ALMENO uno affetto da errore minore di 7,5 micron?
SOL: siccome ho solo errori casuali posso considerare la distribuzione gaussiana standard con media=0 e $sigma=4$,per cui ho valutato la probabilità $pr{u<(7,5)/4}=0,97$ dopodichè ho usato il modello geometrico con p=0,97 e ho proceduto per tentativi
Grazie per l'interessamento.
Risposte
1) Ci metto al massimo 4 tentativi sempre, tranne quando sbaglio le prime quattro volte. Chiamando $P$ la probabilità cercata e $P_s$ la probabilità di sbagliare i primi 4 tentativi, si ha:
$P=1-P_s$
e
$P_s=(9/10)^4$ (perchè ogni volta ho 1/10 di indovinare e quindi 9/10 di sbagliare)
$P=3439/10000= 0,3439$
$P=1-P_s$
e
$P_s=(9/10)^4$ (perchè ogni volta ho 1/10 di indovinare e quindi 9/10 di sbagliare)
$P=3439/10000= 0,3439$
2) Ancora calcoliamo la probabilità tramite la complementare:
$P=1-P_2-P_1-P_0$ dove $P$ è la probabilità cercata, $P_n$ è la probabilità che ci cadano $n$ palline. Prova tu a risolverla con la binomiale: $P_n= (1/3)^n*((n),(50))$
$P=1-P_2-P_1-P_0$ dove $P$ è la probabilità cercata, $P_n$ è la probabilità che ci cadano $n$ palline. Prova tu a risolverla con la binomiale: $P_n= (1/3)^n*((n),(50))$
ok,ho capito quello della cassaforte,gentilissimo. Il fatto è che io mi faccio ingannare da quelle loocuzioni AL PIù,ALMENO,ecc..che associo (erroneamente al modello binomiale).
Per quanto riguarda il problema delle palline,io ho impostato la binomiale proprio come hai fatto tu,Sergio,solo che invece di calcolare $P_n$ ho valutato la probabilità che $n>=3$,ovvero la probabilità complementare,sostituendo quindi a n prima 0,poi 2,poi 3,avendomi chiesto la probabilità che ne cadano ALMENO 3.
Per quanto riguarda il problema delle palline,io ho impostato la binomiale proprio come hai fatto tu,Sergio,solo che invece di calcolare $P_n$ ho valutato la probabilità che $n>=3$,ovvero la probabilità complementare,sostituendo quindi a n prima 0,poi 2,poi 3,avendomi chiesto la probabilità che ne cadano ALMENO 3.
grazie 
tra l'altro mi sono accorta di aver sbagliato a scrivere nel messaggio precedente:sostituisco o,poi 1 e 2.
Per quanto riguarda il terzo,nessuna idea?
Non vorrei approfittare della vostra bontà,ma per me è davvero utile questo confronto,visto che studio da sola. A tal proposito vorrei avere il vostro parere riguardo a questi 2 esercizi :
1)Un satellite viene colpito mediamente da 0.8 particelle l'anno.La probabilità che una di queste colpisca il trasmettitore del satellite è 0.30.Si calcoli la probalità che in 10 anni il trasmettitore venga colpito
SOL:secondo voi è scorretto valutare il 30% di 0,8,cioè 0,24 particelle all'anno e impostare Poisson con lambda=0,24 e x=10?
2)in un college i pesi degli studenti hanno una distribuzione normale con media pari a 60kg e varianza pari 25 kg^2. si calcoli la pdf congiunta dei pesi di 4 studenti s-indipendenti
SOL: ho pensato fosse
$f_x(n)=1/sqrt((2pi)^n*sigma)*exp^((-1/2)*sum_{i=1}^n ((X_i-mu)/sigma)^2)$ con n=4 .
Grazie!
tra l'altro mi sono accorta di aver sbagliato a scrivere nel messaggio precedente:sostituisco o,poi 1 e 2.Per quanto riguarda il terzo,nessuna idea?
Non vorrei approfittare della vostra bontà,ma per me è davvero utile questo confronto,visto che studio da sola. A tal proposito vorrei avere il vostro parere riguardo a questi 2 esercizi :
1)Un satellite viene colpito mediamente da 0.8 particelle l'anno.La probabilità che una di queste colpisca il trasmettitore del satellite è 0.30.Si calcoli la probalità che in 10 anni il trasmettitore venga colpito
SOL:secondo voi è scorretto valutare il 30% di 0,8,cioè 0,24 particelle all'anno e impostare Poisson con lambda=0,24 e x=10?
2)in un college i pesi degli studenti hanno una distribuzione normale con media pari a 60kg e varianza pari 25 kg^2. si calcoli la pdf congiunta dei pesi di 4 studenti s-indipendenti
SOL: ho pensato fosse
$f_x(n)=1/sqrt((2pi)^n*sigma)*exp^((-1/2)*sum_{i=1}^n ((X_i-mu)/sigma)^2)$ con n=4 .
Grazie!
"Sergio":
[quote="kobeilprofeta"]Prova tu a risolverla con la binomiale: $P_n= (1/3)^n*((n),(50))$
Mi sa che volevi scrivere: \(P_n=\binom{50}{n}(1/3)^n(2/3)^{50-n}\).[/quote]
Esattamente
La parte che riguarda l'esponenziale invece è corretta?? non ne sono molto certa...
"Sergio":
Sì, può solo essere migliorata la notazione (usi \(\exp\) come se fosse \(e\)).
Hai 4 variabili aleatorie "peso dell'i-esimo studente" indipendenti e identicamente distribuite.
Essendo indipendenti, la densità congiunta è il prodotto delle marginali; essendo identicamente distribuite, è il prodotto di normali con parametri uguali. Considerando solo due variabili per semplicità, hai:
\[ f(x_1,x_2;\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x_1-\mu)^2} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x_2-\mu)^2}\]
Il prodotto delle due frazioni non è altro che \(\displaystyle \left(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right)^2 \).
Per il resto, in generale \(\displaystyle e^a e^b=e^{a+b} \). Con esponenti ingombranti conviene scrivere: \(\displaystyle \exp(a)\exp(b)=\exp(a+b) \), quindi:
\[ \begin{align}\exp\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}(x_1-\mu)^2\right\}\exp\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}(x_2-\mu)^2\right\}&=
\exp\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}(x_1-\mu)^2-\frac{1}{2\sigma^2}(x_2-\mu)^2\right\}\\
&=\exp\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^2(x_i-\mu)^2\right\}\end{align}\]
Ovviamente \(\displaystyle \exp\left\{-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^2\left(\frac{x_i-\mu}{\sigma}\right)^2\right\} \) è la stessa cosa.
Scusate se mi intrometto, ma lo svolgimento di questo esercizio interessa anche me.
È tutto chiaro per quanto riguarda le formule utilizzate. Ma nel caso dell'esercizio $ X i $ chi è? Forse possiamo dire che $ X i =\mu$?
"Sergio":
No: \(x_i\) è il peso dell'\(i\)-esimo studente.
Quindi numericamente non posso svolgerlo, giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo