Esercizi v.a. esponenziali
CIAO, avrei bisogno di un aiuto con questo problema
Un'industria produce microprocessori caratterizzati da un tempo di vista esponenziale con parametro $lambda_B=0.33 xx 10^(-8)s^(-1)$. Tuttavia, a causa di difetti intrinseci negli impianti di produzione, con probabilità $p=1/100=0.01$, vengono realizzati microprocessori difettosi il cui tempo di vita è ancora un'esponenziale ma con parametro $lambda_D=0.33 xx 10^(-6)s^(-1)$.
L'industria prova tutti i microprocessori facendoli funzionare per $0.30 xx 10^(7)s$ e mette in commercio quelli che sopravvivono.
1. Calcolare la probabilità che un componente difettoso sia posto in commercio.
2. Calcolare la probabilità che un componente posto in commercio sia difettoso.
Svolgimento
1) Indico con
$D={"microprocessore difettoso"}$,
$T={"tempo di vita del microprocessore"}$
$t_1="soglia affinche il microprocessore sia messo in commercio"=0.30 xx 10^(7)s$
e rinomino, per semplicità:
$lambda_1=lambda_B=0.33 xx 10^(-8)s^(-1)$
$lambda_2=lambda_D=0.33 xx 10^(-6)s^(-1)$
A questo punto, dai dati, so che:
$T|barD ~ Exp(lambda_1)$
$T|D ~ Exp(lambda_2)$
Devo allora calcolare la seguente:
$P(A)=P({"componente difettoso messo in commercio"})=$
$=P({"tempo di vita supera la soglia t_1"|"microprocessore difettoso"})=$
$=P(T>=t_1|D)$
che dovrebbe essere pari alla seguente:
$P(A)=P(T>=t_1|D)=1-F_(T|D)(t_1|D)$
E' corretto? se si, in che modo procedo?
Un'industria produce microprocessori caratterizzati da un tempo di vista esponenziale con parametro $lambda_B=0.33 xx 10^(-8)s^(-1)$. Tuttavia, a causa di difetti intrinseci negli impianti di produzione, con probabilità $p=1/100=0.01$, vengono realizzati microprocessori difettosi il cui tempo di vita è ancora un'esponenziale ma con parametro $lambda_D=0.33 xx 10^(-6)s^(-1)$.
L'industria prova tutti i microprocessori facendoli funzionare per $0.30 xx 10^(7)s$ e mette in commercio quelli che sopravvivono.
1. Calcolare la probabilità che un componente difettoso sia posto in commercio.
2. Calcolare la probabilità che un componente posto in commercio sia difettoso.
Svolgimento
1) Indico con
$D={"microprocessore difettoso"}$,
$T={"tempo di vita del microprocessore"}$
$t_1="soglia affinche il microprocessore sia messo in commercio"=0.30 xx 10^(7)s$
e rinomino, per semplicità:
$lambda_1=lambda_B=0.33 xx 10^(-8)s^(-1)$
$lambda_2=lambda_D=0.33 xx 10^(-6)s^(-1)$
A questo punto, dai dati, so che:
$T|barD ~ Exp(lambda_1)$
$T|D ~ Exp(lambda_2)$
Devo allora calcolare la seguente:
$P(A)=P({"componente difettoso messo in commercio"})=$
$=P({"tempo di vita supera la soglia t_1"|"microprocessore difettoso"})=$
$=P(T>=t_1|D)$
che dovrebbe essere pari alla seguente:
$P(A)=P(T>=t_1|D)=1-F_(T|D)(t_1|D)$
E' corretto? se si, in che modo procedo?
Risposte
sono delle semplici probabilità congiunte e condizionate di una distribuzione esponenziale. Ci sono $n$ esercizi più o meno identici già risolti e commentati. QUESTO, ad esempio, da cui puoi prendere spunto...ma ce ne sono davvero tanti in questa pagina e sono TUTTI più o meno uguali.
cordiali saluti
cordiali saluti
Dando una lettura veloce all'esercizio che mi hai consigliato mi trovo a ragionare così come segue.
$P(A)=P(T>=t_1|D)=1-F_(T|D)(t_1|x)$
Conoscendo la distribuzione di $T|D$, ottengo
$F_(T|D)(t_1|x)=\int_(0)^(t_1) lambdae^(-lambda_(2)x)=-[e^(-lambda_(2)x)]_(0)^(t_1)=$
$=1-e^(-99/100)~=0.63$
Quindi:
$P(A)=1-0.63~=0.36$
$P(A)=P(T>=t_1|D)=1-F_(T|D)(t_1|x)$
Conoscendo la distribuzione di $T|D$, ottengo
$F_(T|D)(t_1|x)=\int_(0)^(t_1) lambdae^(-lambda_(2)x)=-[e^(-lambda_(2)x)]_(0)^(t_1)=$
$=1-e^(-99/100)~=0.63$
Quindi:
$P(A)=1-0.63~=0.36$
no. Il primo punto non è una probabilità condizionata...come hai tenuto conto del fatto che il 1% dei processori sia difettoso?
Hai ragione Mi aiuti? Devo utilizzare la legge della probabilità totale?
ci ho ripensato:
Dipende da da come si interpreta il testo: se si intende probabilità di avere un prodotto difettoso in commercio allora devi moltiplicare la probabiltà trovata per $0,01$ se invece si intende probabilità che un prodotto difettoso passi il controllo di qualità previsto allora va bene come hai fatto tu.
Il secondo punto, invece, viene così:
$P(D|C)=(P(D nn C))/(P(C))=(0.01\cdote^(-(0.33\cdot0.3\cdot10)))/(0.99\cdote^(-(0.33\cdot0.3/10))+0.01\cdote^(-(0.33\cdot0.3\cdot10))$
ciao
Dipende da da come si interpreta il testo: se si intende probabilità di avere un prodotto difettoso in commercio allora devi moltiplicare la probabiltà trovata per $0,01$ se invece si intende probabilità che un prodotto difettoso passi il controllo di qualità previsto allora va bene come hai fatto tu.
Il secondo punto, invece, viene così:
$P(D|C)=(P(D nn C))/(P(C))=(0.01\cdote^(-(0.33\cdot0.3\cdot10)))/(0.99\cdote^(-(0.33\cdot0.3/10))+0.01\cdote^(-(0.33\cdot0.3\cdot10))$
ciao
Per il punto 1, quindi è tutto ok.
Per il secondo punto, è la stessa cosa se ragiono così?
$P(D|T>t_1)=(P(D)P(T>t_1))/(P(D)P(T>t_1|D)+P(barD)P(T>t_1|barD))=$
$=((0.01)(0.36))/((0.01)(0.36)+(0.99)P(T>t_1|barD)$
dove
$P(T>t_1|barD)=1-F_(T|barD)(t_1,x)=1-\int_(0)^(t2) lambda_1*e^(-lambda_1x) dx$
Giusto?
Per il secondo punto, è la stessa cosa se ragiono così?
$P(D|T>t_1)=(P(D)P(T>t_1))/(P(D)P(T>t_1|D)+P(barD)P(T>t_1|barD))=$
$=((0.01)(0.36))/((0.01)(0.36)+(0.99)P(T>t_1|barD)$
dove
$P(T>t_1|barD)=1-F_(T|barD)(t_1,x)=1-\int_(0)^(t2) lambda_1*e^(-lambda_1x) dx$
Giusto?
"gaetano94":
Giusto?
ci sono più errori che formule......
[size=150]1)$ P(T>t_(1)|D)=e^((-0.33\cdot0.3 \cdot10^7s)/(10^6\cdot s))~=0.372 !=0.36$[/size]
2) al numeratore hai messo $P(T>t_(1))$ invece di $P(T>t_(1)|D)$ come correttamente hai messo al denominatore
3) hai introdotto uno strano $t_(2)$ come estremo dell'integrale che proprio non so da dove esca....
corretto tutto viene come ho fatto io.....
PS: se rispondi dopo una settimana io ho già buttato via tutti gli appunti e mi tocca riprendere in mano l'esercizio.....dato che sto anche lavorando mi pare uno sforzo inutile, quindi se vuoi delle risposte da me sei cortesemente pregato di rispondere in tempo utile (entro la giornata)
cordialmente,
Scusami se ti ho risposto dopo tempo, ma ho avuto diversi problemi. In quanto all'esercizio, per l'estremo di integrazione, hai ragione, si tratta di un errore di 'scrittura', volevo intendere $t_1$ (sarebbe stato insensato $t_2$)
CORRETTO:
$P(T>t_1|barD)=1-F_(T|barD)(t_1,x)=1-\int_(0)^(t1) lambda_1*e^(-lambda_1x) dx$
Per quanto riguarda questo:
CORRETTO:
hai ragione, mi auto-correggo (seppure in ritardo):
$P(D|T>t_1)=(P(D)P(T>t_1|D))/(P(D)P(T>t_1|D)+P(barD)P(T>t_1|barD))=$
[mi sono accorto che sul quaderno avevo scritto anche correttamente]
CORRETTO:
$P(T>t_1|D)=1-F_(T|D)(t_1|x)=1-\int_(0)^(t_1) lambda_2e^(-lambda_2x)dx=$
$=1+[e^(-lambda_2x)]_(0)^(t_1)=exp((0.33xx10^(-6))*(0.30xx10^(7)))=$
$=exp(-99/100)=0.3715... ~= 0.36$
"Lasciami" approssimare a due cifre decimali
"gaetano94":
$P(T>t_1|barD)=1-F_(T|barD)(t_1,x)=1-\int_(0)^(t2) lambda_1*e^(-lambda_1x) dx$
CORRETTO:
$P(T>t_1|barD)=1-F_(T|barD)(t_1,x)=1-\int_(0)^(t1) lambda_1*e^(-lambda_1x) dx$
Per quanto riguarda questo:
"gaetano94":
$P(D|T>t_1)=(P(D)P(T>t_1))/(P(D)P(T>t_1|D)+P(barD)P(T>t_1|barD))=$
CORRETTO:
hai ragione, mi auto-correggo (seppure in ritardo):
$P(D|T>t_1)=(P(D)P(T>t_1|D))/(P(D)P(T>t_1|D)+P(barD)P(T>t_1|barD))=$
[mi sono accorto che sul quaderno avevo scritto anche correttamente
]CORRETTO:
$P(T>t_1|D)=1-F_(T|D)(t_1|x)=1-\int_(0)^(t_1) lambda_2e^(-lambda_2x)dx=$
$=1+[e^(-lambda_2x)]_(0)^(t_1)=exp((0.33xx10^(-6))*(0.30xx10^(7)))=$
$=exp(-99/100)=0.3715... ~= 0.36$
"Lasciami" approssimare a due cifre decimali
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo