Esercizi traccia d'esame probabilità da risolvere

[olgia]

ESERCIZIO 1: Il docente di un corso di Probabilità e Statistica, per verificare la preparazione
degli studenti su un certo argomento, decide di sottoporre agli studenti in aula 5 domande. Il
professore, che è sempre sospettoso, ipotizza che gli studenti rispondano a caso, cioè abbiano per
ciascuna domanda una probabilità p = 0.5 di sbagliare (e 1 − p = 0.5 di non sbagliare).
a) Se l’ipotesi del professore fosse vera, determinare la distribuzione della v.c. X = “numero di
domande sbagliate da un generico studente”, ovvero dire di che variabile casuale si tratta e
specificarne i parametri.
b) Esplicitare le formule del valore atteso e della varianza della distribuzione al punto a) e calcolare
i corrispondenti valori.
c) Calcolare la probabilità che uno studente sbagli una sola domanda.
d) Se il professore fornisse 50 domande a cui rispondere, quale sarebbe la probabilità per uno
studente di rispondere erroneamente ad almeno 35 di esse?

ESERCIZIO 2: Si supponga che un tetraedro truccato, formato da quattro facce contrassegnate dai
numeri da 1 a 4, sia costruito in modo tale che la probabilità di ottenere un “3” sia doppia rispetto a
quella degli altri punteggi. Sia X la variabile casuale “punteggio ottenuto in un lancio del tetraedro”.
a) Determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale X.
b) Calcolare il valore atteso e la varianza della variabile casuale X.
c) Costruire lo spazio campionario W formato da tutti i possibili campioni bernoulliani di
dimensione n = 2 estratti da X, indicando la probabilità di ogni campione.
d) Fornire il valore atteso e la varianza della variabile casuale “media dei punteggi ottenuti nei due
lanci”.

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