Esercizi sulle variabili aleatorie
Salve a tutti,
sto studiando le variabili aleatorie ma non ho ben chiaro come calcolare la DF in casi come quello degli esercizi che vi riporto:
1) Si lancia un dado bilanciato finchè non esca la stessa faccia due volte consecutive, e sia X la variabile aleatoria che rappresenta il numero di lanci. Calcolare la DF di X.
Ho ragionato in questo modo: se supponiamo due lanci consecutivi, la possibilità di ottenere la stessa faccia in entrambi i lanci è di $ 6/36=1/6 $. Ma a questo punto come costruisco X? Come faccio a sapere di quanti lanci necessito?
Non è ben chiaro come procedere.
Analogamente:
2) Una coppia decide di continuare ad avere figli finchè non nasce una bambina. Calcolare la DF della variabile aleatoria discreta X che rappresenta il numero di figli della coppia.
Anche qui posso calcolare la probabilità che un figlio sia maschio oppure femmina, e chiaramente è $ 1/2 $. E poi?
Scusate se ho riportato 2 esercizi, ma l'ho fatto per ben chiarire ciò che mi "blocca" in questi esercizi.
sto studiando le variabili aleatorie ma non ho ben chiaro come calcolare la DF in casi come quello degli esercizi che vi riporto:
1) Si lancia un dado bilanciato finchè non esca la stessa faccia due volte consecutive, e sia X la variabile aleatoria che rappresenta il numero di lanci. Calcolare la DF di X.
Ho ragionato in questo modo: se supponiamo due lanci consecutivi, la possibilità di ottenere la stessa faccia in entrambi i lanci è di $ 6/36=1/6 $. Ma a questo punto come costruisco X? Come faccio a sapere di quanti lanci necessito?
Non è ben chiaro come procedere.
Analogamente:
2) Una coppia decide di continuare ad avere figli finchè non nasce una bambina. Calcolare la DF della variabile aleatoria discreta X che rappresenta il numero di figli della coppia.
Anche qui posso calcolare la probabilità che un figlio sia maschio oppure femmina, e chiaramente è $ 1/2 $. E poi?
Scusate se ho riportato 2 esercizi, ma l'ho fatto per ben chiarire ciò che mi "blocca" in questi esercizi.
Risposte
1)
$P(X=x)-= {{: ( (5/6)^(x-2)\cdot1/6 , ;x=2;3;4;...+oo ),( 0 , ;al t r o ve ) :}$
2)
$P(X=x)-= {{: ( (1/2)^x , ;x=1;2;3;...+oo ),( 0 , ;al t r o ve ) :}$
ciao
$P(X=x)-= {{: ( (5/6)^(x-2)\cdot1/6 , ;x=2;3;4;...+oo ),( 0 , ;al t r o ve ) :}$
2)
$P(X=x)-= {{: ( (1/2)^x , ;x=1;2;3;...+oo ),( 0 , ;al t r o ve ) :}$
ciao
Non riesco a capire come sei giunto a quei risultati. Potresti spiegarmi come bisogna ragionare in questi casi?
Esercizio 1)
Per prima cosa occorre identificare il dominio della variabile ->facile $x=2,3,4,...,oo$
ora osserviamo che:
Se le due facce consecutive devono verificarsi al secondo lancio: -> $p(X=2)=1/6$
- al primo lancio può uscire qualunque numero ($p=1$);
- al secondo lancio deve uscire il numero che è uscito al primo lancio ($p=1/6$)
Se le due facce consecutive devono verificarsi al terzo lancio: ->$p(X=3)=5/6\cdot1/6$
- al primo lancio può uscire qualunque numero ($p=1$);
- al secondo lancio può uscire qualunque numero tranne quello che è uscito al primo ($p=5/6$)
- al terzo lancio deve uscire il numero che è uscito al secondo ($p=1/6$)
ecc ecc
il secondo è uguale ma più facile perché la probabilità di maschio o femmina è sempre $1/2$
Conclusione: sono due variabili aleatorie Geometriche, la prima traslata.
ciao
Per prima cosa occorre identificare il dominio della variabile ->facile $x=2,3,4,...,oo$
ora osserviamo che:
Se le due facce consecutive devono verificarsi al secondo lancio: -> $p(X=2)=1/6$
- al primo lancio può uscire qualunque numero ($p=1$);
- al secondo lancio deve uscire il numero che è uscito al primo lancio ($p=1/6$)
Se le due facce consecutive devono verificarsi al terzo lancio: ->$p(X=3)=5/6\cdot1/6$
- al primo lancio può uscire qualunque numero ($p=1$);
- al secondo lancio può uscire qualunque numero tranne quello che è uscito al primo ($p=5/6$)
- al terzo lancio deve uscire il numero che è uscito al secondo ($p=1/6$)
ecc ecc
il secondo è uguale ma più facile perché la probabilità di maschio o femmina è sempre $1/2$
Conclusione: sono due variabili aleatorie Geometriche, la prima traslata.
ciao
Chiarissimo, grazie mille!
Ciao, ho bisgono di un altro aiuto 
Scrivo stesso qui per evitare di aprire un'altra discussione. Sono arrivato a studiare coppie di variabili aleatorie. La traccia è la seguente:
La variabili aleatorie (X,Y) sono uniformemente distribuite nel quadrato avente vertici nei punti (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1). Determinare la probabilità dei seguenti eventi:
a) $ X^2+Y^2<1 $ ;
b) $ 2X-Y>0 $ ;
c) $ abs(X+Y)<2 $ ;
Ho intuito che le due v.a. sono del tipo U(-1,1) e quindi hanno le seguenti pdf (con A intendo altrimenti):
$ f_X(x)={ ( 1/2 hArr -1<=x<=1 ),( 0 hArr A ):} $
ed analogamente per $ f_Y(y) $.
Ora non so come determinare la pdf congiunta. Posso supporre che le variabili sono indipendenti? Potrei così affermare, di conseguenza, che
$ f_(XY)(x,y)={ ( 1/4 hArr -1<=x<=1 ; -1<=y<=1 ),( 0 hArr A ):} $
E' giusto? Se si, come calcolo la prima probabilità a questo punto?
Scrivo stesso qui per evitare di aprire un'altra discussione. Sono arrivato a studiare coppie di variabili aleatorie. La traccia è la seguente:
La variabili aleatorie (X,Y) sono uniformemente distribuite nel quadrato avente vertici nei punti (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1). Determinare la probabilità dei seguenti eventi:
a) $ X^2+Y^2<1 $ ;
b) $ 2X-Y>0 $ ;
c) $ abs(X+Y)<2 $ ;
Ho intuito che le due v.a. sono del tipo U(-1,1) e quindi hanno le seguenti pdf (con A intendo altrimenti):
$ f_X(x)={ ( 1/2 hArr -1<=x<=1 ),( 0 hArr A ):} $
ed analogamente per $ f_Y(y) $.
Ora non so come determinare la pdf congiunta. Posso supporre che le variabili sono indipendenti? Potrei così affermare, di conseguenza, che
$ f_(XY)(x,y)={ ( 1/4 hArr -1<=x<=1 ; -1<=y<=1 ),( 0 hArr A ):} $
E' giusto? Se si, come calcolo la prima probabilità a questo punto?
sì è corretto!
per la prima probabilità ti basta intersecare $x^2+y^2<1$ all'interno del quadrato e la probabilità richiesta è l'area risultante moltiplicata per $1/4$...in sostanza $pi/4$
b)=0,5
c)=1
vedi se ti trovi....si fanno a mente....
Nota: il ragionamento che hai fatto porta al risultato corretto ma NON MI PIACE
devi ragionare in maniera inversa.....parti dalla variabile bidimensionale che, essendo uniforme sul quadrato di area 4 sarà ecc ecc.....da lì poi trovi le marginali integrando l'altra variabile su tutto il dominio...è un suggerimento ma ti consiglio di utilizzarlo....
teoricamente dovresti risolvere il seguente integrale doppio
$intint_(g(x,y)
ma dato che la funzione in questione è una uniforme...tale integrale non serve e basta valutare l'area del dominio e moltiplicarla per il valore (costante) di $f(x,y)$
per la prima probabilità ti basta intersecare $x^2+y^2<1$ all'interno del quadrato e la probabilità richiesta è l'area risultante moltiplicata per $1/4$...in sostanza $pi/4$
b)=0,5
c)=1
vedi se ti trovi....si fanno a mente....
Nota: il ragionamento che hai fatto porta al risultato corretto ma NON MI PIACE
devi ragionare in maniera inversa.....parti dalla variabile bidimensionale che, essendo uniforme sul quadrato di area 4 sarà ecc ecc.....da lì poi trovi le marginali integrando l'altra variabile su tutto il dominio...è un suggerimento ma ti consiglio di utilizzarlo....
teoricamente dovresti risolvere il seguente integrale doppio
$intint_(g(x,y)
ma dato che la funzione in questione è una uniforme...tale integrale non serve e basta valutare l'area del dominio e moltiplicarla per il valore (costante) di $f(x,y)$
Ma il calcolo effettuato da te per determinare la pdf congiunta è sempre applicabile siccome la stai "normalizzando", giusto? Io invece avevo supposto che le 2 variabili fossero indipendenti, e perciò ho affermato che la congiunta fosse fattorizzabile nelle due pdf marginali (e viceversa, per giungere proprio a dire che la congiunta valesse $1/4$ in quel quadrato).
Il mio ragionamento è valido sempre quando si ha a che fare con coppie di v.a. uniformi (che presuppongo sempre indipendenti)? O è errato ragionare così e bisogna pertanto sempre procedere come suggerito da te (mediante normalizzazione)?
Per la probabilità del primo evento, non avevo valutato la tua osservazione. Ma se volessi procedere mediante il calcolo dell'integrale doppio, quali sarebbero gli estremi? Ad esempio potrei calcolarlo per $ -1<=x<=1 $ e $ -sqrt(1-x^2)<=y<=sqrt(1-x^2) $ ?
Il mio ragionamento è valido sempre quando si ha a che fare con coppie di v.a. uniformi (che presuppongo sempre indipendenti)? O è errato ragionare così e bisogna pertanto sempre procedere come suggerito da te (mediante normalizzazione)?
Per la probabilità del primo evento, non avevo valutato la tua osservazione. Ma se volessi procedere mediante il calcolo dell'integrale doppio, quali sarebbero gli estremi? Ad esempio potrei calcolarlo per $ -1<=x<=1 $ e $ -sqrt(1-x^2)<=y<=sqrt(1-x^2) $ ?
in questo caso sì....ma a quel punto sarebbe meglio trasformarlo in coordinate polari
e se invece l'esercizio fosse così?
consideriamo la variabile uniforme $f(x,y)$ definita in $0
come faresti?
la tecnica è sempre la stessa....valuti l'area del dominio, la normalizzi (dato che è uniforme) e solo dopo calcoli le marginali.....per essere indipendenti il dominio deve essere rettangolare...altrimenti ciccia.....
e se invece l'esercizio fosse così?
consideriamo la variabile uniforme $f(x,y)$ definita in $0
come faresti?
la tecnica è sempre la stessa....valuti l'area del dominio, la normalizzi (dato che è uniforme) e solo dopo calcoli le marginali.....per essere indipendenti il dominio deve essere rettangolare...altrimenti ciccia.....
Ok, quindi ricapitoliamo:
Se voglio determinare la pdf congiunta, DEVO SEMPRE risolvere un integrale doppio del tipo
$ int int_(-oo)^(+oo) 1/K dx dy = 1 $
e da esso ricavo che
$ f_(XY)(x,y) = { ( 1/K ) ,( 0 ):} $
(il primo valore vale in D, il secondo altrove). Quindi non posso MAI STABILIRE APRIORI che due vv.aa. sono indipendenti (seppur UNIFORMI). Giusto?
EDIT: ho visto che hai modificato il post: ma il mio dominio non è rettangolare? Perchè non posso dire che sono indipendenti?
Se voglio determinare la pdf congiunta, DEVO SEMPRE risolvere un integrale doppio del tipo
$ int int_(-oo)^(+oo) 1/K dx dy = 1 $
e da esso ricavo che
$ f_(XY)(x,y) = { ( 1/K ) ,( 0 ):} $
(il primo valore vale in D, il secondo altrove). Quindi non posso MAI STABILIRE APRIORI che due vv.aa. sono indipendenti (seppur UNIFORMI). Giusto?
EDIT: ho visto che hai modificato il post: ma il mio dominio non è rettangolare? Perchè non posso dire che sono indipendenti?
ni
la distribuzione congiunta può anche non esser possibile calcolarla. La puoi calcolare se
1) ti dicono che le variabili sono indipendenti -> basta moltiplicarle
2) la calcoli tramite normalizzazione del dominio (solo se è uniforme)
3) ti vengono forniti dettagli circa la dipendenza delle variabili.
Sono domande a cui è difficile dare una risposta....sarebbe meglio fare un po' di esercizi prima.....
***************************
il fatto che il dominio sia rettangolare è solo condizione necessaria
la distribuzione congiunta può anche non esser possibile calcolarla. La puoi calcolare se
1) ti dicono che le variabili sono indipendenti -> basta moltiplicarle
2) la calcoli tramite normalizzazione del dominio (solo se è uniforme)
3) ti vengono forniti dettagli circa la dipendenza delle variabili.
Sono domande a cui è difficile dare una risposta....sarebbe meglio fare un po' di esercizi prima.....
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"pitagora11":
: ma il mio dominio non è rettangolare? Perchè non posso dire che sono indipendenti?
il fatto che il dominio sia rettangolare è solo condizione necessaria
Tutto chiaro, grazie mille davvero!
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