Esercizi statistica... qualche problemino
Salve a tutti, mi trovo in difficoltà con il seguente problema di statistica:
Calcolare la probabilità che lanciando $40$ dadi si ottenga come somma dei risultati $130$.
Non dormo più la notte; ho provato semplicemente a contare tutte le possibilità prendendo tutte le "40-uple" poste con i risultati messi in ordine decrescente.
Il mio approccio di base era questo:
posso ottenere $130$ considerando la massima sequenza di 6 possibile e il resto di 1
e sarebbe $18$ 6 e $22$ 1.
Ora dal momento che sono ordinate posso pensare di abbassare il grado del "diciottesimo" 6 a 5 e aumentare il "primo" 1 a 2; poi tenendo fissi questi due ripeto ancora... posso fare questo ancora avendo i 4 e i 3; con un totale di 36 combinazione. Ma così mi sembra una cosa disumana... ci sarà una formula combinatoria?
L'altro problema è molto interessante perchè credo di aver trovato la formula risolutiva generale, ma non riesco ad arrivarci teoricamente:
In un sacchetto ho $21$ lettere, ne estraggo $k$ quante sono le probabilità che le lettere "m,a,r,e" risultino estratte in questo ordine, anche se non necessariamente tutte di fila.
Ho fatto una semplice prova con K=5 e K=6 tenendo conto che "m,a,r,e" siano state estratte: la probabilità è di
$1/24$
ora però ne capisco il perchè e non riesco a tirare le fila della situazione.
Calcolare la probabilità che lanciando $40$ dadi si ottenga come somma dei risultati $130$.
Non dormo più la notte; ho provato semplicemente a contare tutte le possibilità prendendo tutte le "40-uple" poste con i risultati messi in ordine decrescente.
Il mio approccio di base era questo:
posso ottenere $130$ considerando la massima sequenza di 6 possibile e il resto di 1
e sarebbe $18$ 6 e $22$ 1.
Ora dal momento che sono ordinate posso pensare di abbassare il grado del "diciottesimo" 6 a 5 e aumentare il "primo" 1 a 2; poi tenendo fissi questi due ripeto ancora... posso fare questo ancora avendo i 4 e i 3; con un totale di 36 combinazione. Ma così mi sembra una cosa disumana... ci sarà una formula combinatoria?
L'altro problema è molto interessante perchè credo di aver trovato la formula risolutiva generale, ma non riesco ad arrivarci teoricamente:
In un sacchetto ho $21$ lettere, ne estraggo $k$ quante sono le probabilità che le lettere "m,a,r,e" risultino estratte in questo ordine, anche se non necessariamente tutte di fila.
Ho fatto una semplice prova con K=5 e K=6 tenendo conto che "m,a,r,e" siano state estratte: la probabilità è di
$1/24$
ora però ne capisco il perchè e non riesco a tirare le fila della situazione.
Risposte
Ti confermo che per il secondo problema la soluzione è $1/24$.
Per quanto riguarda il primo, la soluzione è un po' ostica.
Infatti $6^40$ è un numero composto da circa una trentina d cifre.
E non è facilmente "addomesticabile".
Ho trovato un metodo, ma non ho le conoscenze informatiche per applicarlo.
Bisognerebbe costruire una specie di triangolo di Tartaglia.
Solo che ad ogni riga, il numero dei dati non aumenta di 1 ma di 5.
Per dire la riga che ci interessa (la quarantesima) sarebbe composta da 201 dati.
Infatti gli eventi possibili sono 201 (da 40 a 240).
Tenendo conto che molti di questi dati sono composti da venti o più cifre, la riga in questione sarebbe composta da alcune migliaia di caratteri.
Se vuoi, posso "provare" a spiegarti il metodo.
Per quanto riguarda il primo, la soluzione è un po' ostica.
Infatti $6^40$ è un numero composto da circa una trentina d cifre.
E non è facilmente "addomesticabile".
Ho trovato un metodo, ma non ho le conoscenze informatiche per applicarlo.
Bisognerebbe costruire una specie di triangolo di Tartaglia.
Solo che ad ogni riga, il numero dei dati non aumenta di 1 ma di 5.
Per dire la riga che ci interessa (la quarantesima) sarebbe composta da 201 dati.
Infatti gli eventi possibili sono 201 (da 40 a 240).
Tenendo conto che molti di questi dati sono composti da venti o più cifre, la riga in questione sarebbe composta da alcune migliaia di caratteri.
Se vuoi, posso "provare" a spiegarti il metodo.
Allore, dunqueper quanto riguarda 1/24, se ho due eventi
A=vengono estratte le lettere "m,a,r,e"
B=le lettere mare vengono estratte e sono in ordine
$1/24$ sarebbe la probabilità di B dato A
Quindi potrei usare una formula di Beyes inversa per ricavare la probabilità di B
Dato che la probabilità di A dato B è 1 e la probabilità di A si calcola agilmente.
Per il secondo punto, se ti va, vorrei vedere questo spacie di triangolo di Tartaglia.
Grazie 1000
A=vengono estratte le lettere "m,a,r,e"
B=le lettere mare vengono estratte e sono in ordine
$1/24$ sarebbe la probabilità di B dato A
Quindi potrei usare una formula di Beyes inversa per ricavare la probabilità di B
Dato che la probabilità di A dato B è 1 e la probabilità di A si calcola agilmente.
Per il secondo punto, se ti va, vorrei vedere questo spacie di triangolo di Tartaglia.
Grazie 1000
1 1 1 1 1 1 6
0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36
0 0 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1 216
0 0 0 1 4 10 20 35 56 80 104 125 140 146 140 125 104 80 56 35 20 10 1296
0 0 0 0 1 5 15 35 70 126 205 305 420 540 651 735 780 780 735 651 540 420 305 205 126 70 35 15 5 1 7776
Devo ammettere che l'allineamento non è dei migliori. Ma è il massimo che riesco a fare...
La prima riga è relativa al lancio di un dado, la seconda di due dadi, la terza di tre dadi, etc..
Il primo numero di ogni riga mi stà ad indicare i casi in cui il totale dei dadi è 1, il secondo in cui il totale è 3, etc.
Per trovare ogni dato si somma il numero alla sua sinistra con il numero che stà sopra il numero alla sua sinistra, e si sottrae il il sesto precedente della riga superiore.
Ad esempio nella quinta riga: 651 è dato da $540+146-35$; il primo 420 è dato da $305+125-10$; il secondo 420 è dato da $540+20-140$.
A parte che bisogna trovare i dati fino a metà, poi sono simmetrici rispetto alla prima metà.
Spero di essere stato chiaro.
Non è poi così complicato come sembra....
0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36
0 0 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1 216
0 0 0 1 4 10 20 35 56 80 104 125 140 146 140 125 104 80 56 35 20 10 1296
0 0 0 0 1 5 15 35 70 126 205 305 420 540 651 735 780 780 735 651 540 420 305 205 126 70 35 15 5 1 7776
Devo ammettere che l'allineamento non è dei migliori. Ma è il massimo che riesco a fare...
La prima riga è relativa al lancio di un dado, la seconda di due dadi, la terza di tre dadi, etc..
Il primo numero di ogni riga mi stà ad indicare i casi in cui il totale dei dadi è 1, il secondo in cui il totale è 3, etc.
Per trovare ogni dato si somma il numero alla sua sinistra con il numero che stà sopra il numero alla sua sinistra, e si sottrae il il sesto precedente della riga superiore.
Ad esempio nella quinta riga: 651 è dato da $540+146-35$; il primo 420 è dato da $305+125-10$; il secondo 420 è dato da $540+20-140$.
A parte che bisogna trovare i dati fino a metà, poi sono simmetrici rispetto alla prima metà.
Spero di essere stato chiaro.
Non è poi così complicato come sembra....
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