Esercizi (semplici) di probabilità

lewis1
Ciao a tutti!
Causa preparazione ultimi esami e successivamente influenza, ho perso le prime lezioni del cors o di probabilità; ora sto cercando di recuperarle facendo tutti gli esercizi possibili, ma a volte mi incanto su quelli più semplici :cry: :cry: :cry:
Potete aiutarmi?

(Lo so, sono esercizi banalissimi, ma se non inizio da quelli...)

Lanciando 5 dadi qual è la probabilità di ottenere
a) un full:
Io ho pensato di procedere così: casi totali sono n° facce dei dadi ^n° di dadi quindi $6^5$
Un full è formato da 3 facce ugali tra loro, cioè $((5),(3))$, più due facce uguali fra loro, cioè $((5),(2))$, da cui

$P(F) = (((5),(3)) * ((5), (2)))/ 6^5$

Manca qualcosa?

b) un tris

$P(T) = (((5),(3)) * 5 *4)/ 6^5$ dove 5 e 4 rappresentano rispettivamente i modi in cui posso scegliere il 4° e il 5° dado (quelli non nel tris)

Ce ne sarebbero anche altri...ma se già sono sbagliati questi è inutile inondare il post di errori da correggere :lol:

Grazie in anticipo per l'aiuto
Buon pomeriggio

_L_

Risposte
Piccolo Fermat
Per quanto riguarda il tris ho lo spazio campionario dato da $6^5$ (cosa già detta da te e mi sembra piu che giusto), mentre per le possibili combinazioni calcolo man mano le possibili scelte che posso fare. Ti spiego meglio.

Il primo dado mi può dare 6 scelte su sei quindi $6/6$

il secondo dato mi può dare solo una scelta su 6 quindi $1/6$

stessa cosa per il terzo dado quindi avremo $1/6$

per il quarto e quinto dado avremo 2 numeri scelti a caso e quindi 6 scelte per il quarto e 6 per il secondo.

Visto che sono tutti eventi indipendenti si moltiplicheranno tra loro e quindi avremo

$(6/6) * (1/6) * (1/6) * (6/6) * (6/6) = (6^3) / (6^5)$

Se ti trovi con questo ragionamento prova a usarlo per il Full. Ovviamente se ci sono errori, fammelo notare.

lewis1
Innanzitutto grazie per la risposta!
Sono un po' bloccata:

"Piccolo Fermat":


Il primo dado mi può dare 6 scelte su sei quindi $6/6$

il secondo dato mi può dare solo una scelta su 6 quindi $1/6$

stessa cosa per il terzo dado quindi avremo $1/6$

per il quarto e quinto dado avremo 2 numeri scelti a caso e quindi 6 scelte per il quarto e 6 per il secondo.
.


Ma se il quarto e il quinto dado possono essere scelti in 6 modi, potrebbero uscire anche un poker o una cinquina...no?
Forse il 4° e il 5° si scelgono in 5 modi il primo e in 4 il secondo...(se li scelgo entrambi in 5 potrebe capitare un full)
Ma probabilmente sono io che sbaglio :-D (non me ne intendo molto)

Piccolo Fermat
Effettivamente hai ragione, potrebbe capitare di avere un poker o una cinquina. La mia dimenticanza è frutto di numerosi esercizi di questo tipo ma dove al posto dei dadi avevo il matto di carte da poker. Quindi ricapitolando..

$(6/6) * (1/6) * (1/6) * (5/6) * (4/6) = 6*5*4 / (6^5)$

lewis1
Sembra giusto...però c'è un problema: ho recuperato il quaderno di un mio compagno, e la sua soluzione (presumo rretta a lezione) iversa:

$P(T) = (((6),(1)) * ((5),(2))* (5!)/(3!*1!*1!))/ 6^5$

Non mi è chiara...
(in ogni caso, se non ho sbagliato i conti, viene 10 volte la nostra...preoccupante!)

Piccolo Fermat
Eh si purtroppo non abbiamo contato tutte le "vere" possibili combinazioni. Vedi quel $(5!)/(3!*1!*1!)$ è il coefficente multinomiale, che in questo caso calcola in quanti modi si può assegnare un tris. Ti spiego meglio, quando lanci i dadi puoi avere..

$2 3 2 1 2$ ma anche $2 1 3 2 2$ e cosi via. Credo che finalmente siamo arrivati ad una buona conclusione.

Umby2
"Piccolo Fermat":

Credo che finalmente siamo arrivati ad una buona conclusione.


per me si arriva alla conclusione, quando hai calcolato tutte le altre possibilità e verificato che la sommatoria sia $6^5$

Piccolo Fermat
la probabilità di un tris si ha quindi in questo modo

$P(T) = (6*5*4*5*2)/(6^5)$

lewis1
Dunque...innanzitutto grazie a tutti per l'aiuto che mi state dando.
Provo a ricapitolare (così vediamo se ho preso qualche granchio colossale)

In esercizi di questo tipo io devo considerare le possibili combinazioni 11212 e 11122 come diverse, giusto? Da cui il coefficiente multinomiale.
La formula è dunque

$((6),( 3)) * ((3),(1)) * ((5!)/(3! * 1! * 1!))$

Dove
$((6),(3))$: scelgo tre valori tra i cinque possibili; uno formerà il tris, gli altri 2 saranno quelli "singoli" (non so come dirlo meglio)
$((3),( 1))$ : moltiplico cioè per 3, perchè i tre valori sopracitati possono combinarsi in modo diverso: cioè, quelllo che in un caso è il valore del tris in un altro caso è uno dei due singoli e così via (è detto da schifo e me ne scuso :oops: )
Il coefficiente multinomiale invece rappresenta tutti i possibili modi di suddividere 5 valori (i 5 dadi della combinazione) in 3 gruppo, uno di 3 elementi (il tris) e 2 da un elemento (i due dadi singoli)

E' corretta come analisi?

Ho una domanda: al posto di $((6),(3)) * ((3),(1))$ nella correzione di un mio compagno c'era
$((6),(1)) * ((5), (2)) *2$

Perchè? Scelgo un primo elemento tra 6 (quello del tris) e gli ultimi 2 tra 5. Perchè moltoplico per 2? Perchè scelto il tris, per esempio 333, gli altri 2 valori possono scambiarsi?
Cioè, mi spiego, perchè 33345 e 33354 sono diversi?

E allora avrei potuto fare anche
$((6),(1)) * ((5),(1)) * ((4),(1)) * 3$?

Grazie infinite e scusatemi per l'insistenza.

Buon pomeriggio

Edit: c'era un 5 abbandonato :oops: :oops:

Umby2
"lewis":


Ho una domanda: al posto di $((6),(3)) * ((3),(1))$ nella correzione di un mio compagno c'era
$((6),(1)) * ((5), (2)) *2$

Perchè? Scelgo un primo elemento tra 6 (quello del tris) e gli ultimi 2 tra 5. Perchè moltoplico per 2? Perchè scelto il tris, per esempio 333, gli altri 2 valori possono scambiarsi?
Cioè, mi spiego, perchè 33345 e 33354 sono diversi?



Penso di si, anche se il *2 finale non ci vorrebbe, in quanto già moltiplichi per il multimoniale [Praticamente moltiplicheresti due volte la stessa cosa]

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