Esercizi (semplici) di probabilità
Ciao a tutti!
Causa preparazione ultimi esami e successivamente influenza, ho perso le prime lezioni del cors o di probabilità; ora sto cercando di recuperarle facendo tutti gli esercizi possibili, ma a volte mi incanto su quelli più semplici
Potete aiutarmi?
(Lo so, sono esercizi banalissimi, ma se non inizio da quelli...)
Lanciando 5 dadi qual è la probabilità di ottenere
a) un full:
Io ho pensato di procedere così: casi totali sono n° facce dei dadi ^n° di dadi quindi $6^5$
Un full è formato da 3 facce ugali tra loro, cioè $((5),(3))$, più due facce uguali fra loro, cioè $((5),(2))$, da cui
$P(F) = (((5),(3)) * ((5), (2)))/ 6^5$
Manca qualcosa?
b) un tris
$P(T) = (((5),(3)) * 5 *4)/ 6^5$ dove 5 e 4 rappresentano rispettivamente i modi in cui posso scegliere il 4° e il 5° dado (quelli non nel tris)
Ce ne sarebbero anche altri...ma se già sono sbagliati questi è inutile inondare il post di errori da correggere
Grazie in anticipo per l'aiuto
Buon pomeriggio
_L_
Causa preparazione ultimi esami e successivamente influenza, ho perso le prime lezioni del cors o di probabilità; ora sto cercando di recuperarle facendo tutti gli esercizi possibili, ma a volte mi incanto su quelli più semplici
Potete aiutarmi?
(Lo so, sono esercizi banalissimi, ma se non inizio da quelli...)
Lanciando 5 dadi qual è la probabilità di ottenere
a) un full:
Io ho pensato di procedere così: casi totali sono n° facce dei dadi ^n° di dadi quindi $6^5$
Un full è formato da 3 facce ugali tra loro, cioè $((5),(3))$, più due facce uguali fra loro, cioè $((5),(2))$, da cui
$P(F) = (((5),(3)) * ((5), (2)))/ 6^5$
Manca qualcosa?
b) un tris
$P(T) = (((5),(3)) * 5 *4)/ 6^5$ dove 5 e 4 rappresentano rispettivamente i modi in cui posso scegliere il 4° e il 5° dado (quelli non nel tris)
Ce ne sarebbero anche altri...ma se già sono sbagliati questi è inutile inondare il post di errori da correggere
Grazie in anticipo per l'aiuto
Buon pomeriggio
_L_
Risposte
Per quanto riguarda il tris ho lo spazio campionario dato da $6^5$ (cosa già detta da te e mi sembra piu che giusto), mentre per le possibili combinazioni calcolo man mano le possibili scelte che posso fare. Ti spiego meglio.
Il primo dado mi può dare 6 scelte su sei quindi $6/6$
il secondo dato mi può dare solo una scelta su 6 quindi $1/6$
stessa cosa per il terzo dado quindi avremo $1/6$
per il quarto e quinto dado avremo 2 numeri scelti a caso e quindi 6 scelte per il quarto e 6 per il secondo.
Visto che sono tutti eventi indipendenti si moltiplicheranno tra loro e quindi avremo
$(6/6) * (1/6) * (1/6) * (6/6) * (6/6) = (6^3) / (6^5)$
Se ti trovi con questo ragionamento prova a usarlo per il Full. Ovviamente se ci sono errori, fammelo notare.
Il primo dado mi può dare 6 scelte su sei quindi $6/6$
il secondo dato mi può dare solo una scelta su 6 quindi $1/6$
stessa cosa per il terzo dado quindi avremo $1/6$
per il quarto e quinto dado avremo 2 numeri scelti a caso e quindi 6 scelte per il quarto e 6 per il secondo.
Visto che sono tutti eventi indipendenti si moltiplicheranno tra loro e quindi avremo
$(6/6) * (1/6) * (1/6) * (6/6) * (6/6) = (6^3) / (6^5)$
Se ti trovi con questo ragionamento prova a usarlo per il Full. Ovviamente se ci sono errori, fammelo notare.
Innanzitutto grazie per la risposta!
Sono un po' bloccata:
Ma se il quarto e il quinto dado possono essere scelti in 6 modi, potrebbero uscire anche un poker o una cinquina...no?
Forse il 4° e il 5° si scelgono in 5 modi il primo e in 4 il secondo...(se li scelgo entrambi in 5 potrebe capitare un full)
Ma probabilmente sono io che sbaglio
(non me ne intendo molto)
Sono un po' bloccata:
"Piccolo Fermat":
Il primo dado mi può dare 6 scelte su sei quindi $6/6$
il secondo dato mi può dare solo una scelta su 6 quindi $1/6$
stessa cosa per il terzo dado quindi avremo $1/6$
per il quarto e quinto dado avremo 2 numeri scelti a caso e quindi 6 scelte per il quarto e 6 per il secondo.
.
Ma se il quarto e il quinto dado possono essere scelti in 6 modi, potrebbero uscire anche un poker o una cinquina...no?
Forse il 4° e il 5° si scelgono in 5 modi il primo e in 4 il secondo...(se li scelgo entrambi in 5 potrebe capitare un full)
Ma probabilmente sono io che sbaglio
(non me ne intendo molto)
Effettivamente hai ragione, potrebbe capitare di avere un poker o una cinquina. La mia dimenticanza è frutto di numerosi esercizi di questo tipo ma dove al posto dei dadi avevo il matto di carte da poker. Quindi ricapitolando..
$(6/6) * (1/6) * (1/6) * (5/6) * (4/6) = 6*5*4 / (6^5)$
$(6/6) * (1/6) * (1/6) * (5/6) * (4/6) = 6*5*4 / (6^5)$
Sembra giusto...però c'è un problema: ho recuperato il quaderno di un mio compagno, e la sua soluzione (presumo rretta a lezione) iversa:
$P(T) = (((6),(1)) * ((5),(2))* (5!)/(3!*1!*1!))/ 6^5$
Non mi è chiara...
(in ogni caso, se non ho sbagliato i conti, viene 10 volte la nostra...preoccupante!)
$P(T) = (((6),(1)) * ((5),(2))* (5!)/(3!*1!*1!))/ 6^5$
Non mi è chiara...
(in ogni caso, se non ho sbagliato i conti, viene 10 volte la nostra...preoccupante!)
Eh si purtroppo non abbiamo contato tutte le "vere" possibili combinazioni. Vedi quel $(5!)/(3!*1!*1!)$ è il coefficente multinomiale, che in questo caso calcola in quanti modi si può assegnare un tris. Ti spiego meglio, quando lanci i dadi puoi avere..
$2 3 2 1 2$ ma anche $2 1 3 2 2$ e cosi via. Credo che finalmente siamo arrivati ad una buona conclusione.
$2 3 2 1 2$ ma anche $2 1 3 2 2$ e cosi via. Credo che finalmente siamo arrivati ad una buona conclusione.
"Piccolo Fermat":
Credo che finalmente siamo arrivati ad una buona conclusione.
per me si arriva alla conclusione, quando hai calcolato tutte le altre possibilità e verificato che la sommatoria sia $6^5$
la probabilità di un tris si ha quindi in questo modo
$P(T) = (6*5*4*5*2)/(6^5)$
$P(T) = (6*5*4*5*2)/(6^5)$
Dunque...innanzitutto grazie a tutti per l'aiuto che mi state dando.
Provo a ricapitolare (così vediamo se ho preso qualche granchio colossale)
In esercizi di questo tipo io devo considerare le possibili combinazioni 11212 e 11122 come diverse, giusto? Da cui il coefficiente multinomiale.
La formula è dunque
$((6),( 3)) * ((3),(1)) * ((5!)/(3! * 1! * 1!))$
Dove
$((6),(3))$: scelgo tre valori tra i cinque possibili; uno formerà il tris, gli altri 2 saranno quelli "singoli" (non so come dirlo meglio)
$((3),( 1))$ : moltiplico cioè per 3, perchè i tre valori sopracitati possono combinarsi in modo diverso: cioè, quelllo che in un caso è il valore del tris in un altro caso è uno dei due singoli e così via (è detto da schifo e me ne scuso
)
Il coefficiente multinomiale invece rappresenta tutti i possibili modi di suddividere 5 valori (i 5 dadi della combinazione) in 3 gruppo, uno di 3 elementi (il tris) e 2 da un elemento (i due dadi singoli)
E' corretta come analisi?
Ho una domanda: al posto di $((6),(3)) * ((3),(1))$ nella correzione di un mio compagno c'era
$((6),(1)) * ((5), (2)) *2$
Perchè? Scelgo un primo elemento tra 6 (quello del tris) e gli ultimi 2 tra 5. Perchè moltoplico per 2? Perchè scelto il tris, per esempio 333, gli altri 2 valori possono scambiarsi?
Cioè, mi spiego, perchè 33345 e 33354 sono diversi?
E allora avrei potuto fare anche
$((6),(1)) * ((5),(1)) * ((4),(1)) * 3$?
Grazie infinite e scusatemi per l'insistenza.
Buon pomeriggio
Edit: c'era un 5 abbandonato
Provo a ricapitolare (così vediamo se ho preso qualche granchio colossale)
In esercizi di questo tipo io devo considerare le possibili combinazioni 11212 e 11122 come diverse, giusto? Da cui il coefficiente multinomiale.
La formula è dunque
$((6),( 3)) * ((3),(1)) * ((5!)/(3! * 1! * 1!))$
Dove
$((6),(3))$: scelgo tre valori tra i cinque possibili; uno formerà il tris, gli altri 2 saranno quelli "singoli" (non so come dirlo meglio)
$((3),( 1))$ : moltiplico cioè per 3, perchè i tre valori sopracitati possono combinarsi in modo diverso: cioè, quelllo che in un caso è il valore del tris in un altro caso è uno dei due singoli e così via (è detto da schifo e me ne scuso
)Il coefficiente multinomiale invece rappresenta tutti i possibili modi di suddividere 5 valori (i 5 dadi della combinazione) in 3 gruppo, uno di 3 elementi (il tris) e 2 da un elemento (i due dadi singoli)
E' corretta come analisi?
Ho una domanda: al posto di $((6),(3)) * ((3),(1))$ nella correzione di un mio compagno c'era
$((6),(1)) * ((5), (2)) *2$
Perchè? Scelgo un primo elemento tra 6 (quello del tris) e gli ultimi 2 tra 5. Perchè moltoplico per 2? Perchè scelto il tris, per esempio 333, gli altri 2 valori possono scambiarsi?
Cioè, mi spiego, perchè 33345 e 33354 sono diversi?
E allora avrei potuto fare anche
$((6),(1)) * ((5),(1)) * ((4),(1)) * 3$?
Grazie infinite e scusatemi per l'insistenza.
Buon pomeriggio
Edit: c'era un 5 abbandonato
"lewis":
Ho una domanda: al posto di $((6),(3)) * ((3),(1))$ nella correzione di un mio compagno c'era
$((6),(1)) * ((5), (2)) *2$
Perchè? Scelgo un primo elemento tra 6 (quello del tris) e gli ultimi 2 tra 5. Perchè moltoplico per 2? Perchè scelto il tris, per esempio 333, gli altri 2 valori possono scambiarsi?
Cioè, mi spiego, perchè 33345 e 33354 sono diversi?
Penso di si, anche se il *2 finale non ci vorrebbe, in quanto già moltiplichi per il multimoniale [Praticamente moltiplicheresti due volte la stessa cosa]
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