Esercizi segnali deterministici

[Oiram92]

Buonasera, ho iniziato lo svolgimento degli esercizi riguardanti la categoria dei segnali determinati ed avrei la necessità di valutare insieme a voi 3 o 4 tipologie. Iniziamo con questo :

[size=150]Testo[/size]
Siano \(\displaystyle x(t) = 1 + 1000\;sinc(1000t) \) e \(\displaystyle y(t) = x(t)\cdot cos(4000\pi\;t) \). Si supponga che il segnale \(\displaystyle y(t) \) vada in ingresso ad un filtro lineare tempo invariante la cui risposta all’impulso è data da :

\(\displaystyle h(t) = 4800\;sinc(4800t) \)

e sia \(\displaystyle z(t) \) il segnale in uscita. Calcolare :

1) media ed energia del segnale \(\displaystyle x(t) \)
2) l’espressione del segnale \(\displaystyle z(t) \) nel dominio del tempo
3) la potenza media del segnale \(\displaystyle z(t) \)

[size=150]Svolgimento[/size]

1) Iniziamo trasformando con Fourier il segnale \(\displaystyle x(t) \) :

\(\displaystyle X(f) = \delta(f) + rect\left(\frac{f}{1000}\right) \)

Il valore medio è :

\(\displaystyle x_m = X(0) = \delta(0) + rect(0) = \infty + 1 = \infty \)

è possibile?

L'energia la ricavo con il teorema di Parseval :

\(\displaystyle E_X = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta^2(f) df + 2\; \int_{-\infty}^{+\infty} rect\left(\frac{f}{1000}\right)\cdot \delta(f) df + \int_{-\infty}^{+\infty} \left[rect \left(\frac{f}{1000}\right)\right]^2 df\)

\(\displaystyle = \emptyset + 2\; rect(0) + \int_{-500}^{500} df = 1002 \)

quindi il segnale è di energia e la potenza media è nulla.

2) Il segnale in uscita (nel dominio del tempo) vale :

\(\displaystyle z(t) = y(t) \otimes h(t) = [cos(4000\pi\;t) \otimes 4800\;sinc(4800t)] + [1000\;sinc(1000t)\cdot cos(4000\pi\;t) \otimes 4800\;sinc(4800t)] \)

posso lasciarlo così o devo fare altro?

3) Calcoliamo la trasformata di Fourier di \(\displaystyle z(t) \):

\(\displaystyle Z(f) = Y(f) \cdot H(f) = \frac{X(f-2000)+X(f+2000)}{2}\cdot rect\left(\frac{f}{4800}\right) \)

Dove \(\displaystyle H(f) \) è la risposta impulsiva del sistema. Per calcolare la potenza media (solitamente) calcolo l'energia media \(\displaystyle E_Z \) del segnale e calcolo :

\(\displaystyle P_Z = \lim_{T \to +\infty} \frac{E_Z}{T} \)

Leggendo un pò su internet però ho "scoperto" che il teorema di Parseval non è applicabile a prescindere dal tipo di segnale da analizzare, infatti (non so se è vero perchè non sono riuscito a trovare un enunciato matematico del teorema con ipotesi e tesi) per segnali contenenti il \(\displaystyle cos \) non si può usare (sarà vero?). Per non appensatire il thread non inserisco tutta la risoluzione dell'integrale con Parseval (se necessario la posso scrivere senza problemi) :

\(\displaystyle E_Z = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\frac{X(f-2000)+X(f+2000)}{2}\right]^2\cdot rect\left(\frac{f}{4800}\right)^2 df \)

\(\displaystyle = \frac{1}{4} \; \int_{-2400}^{+2400} \left[X(f-2000)+X(f+2000)\right]^2 df = 451.5 \)

quindi \(\displaystyle P_Z=0 \). Qualcuno può chiarirmi il dubbio su Parseval e magari controllare se l'esercizio è giusto?

[Oiram92]

Mi rispondo parzialmente da solo ma attendo qualche conferma, dunque:

1) Nel calcolo del valor medio non dobbiamo considerare l'impulso perchè esso (per natura) causa una variazione (appunto) impulsiva in un brevissimo istante di tempo, di conseguenza il valore medio corretto è soltanto :

\(\displaystyle x_m = X(0) = rect(0) = 1 \)

2) Una soluzione esplicita di tutte quelle convoluzioni mi sembra sia improponibile da fare a mano nel corso di un esame (a tempo limitato) quindi (credo) che sia sufficiente lasciarla indicata così. Voi che dite?

3) Il calcolo degli integrali è sicuramente corretto (ho già verificato con wolfram) tuttavia l'osservazione relativa al teorema di Parseval continua a girarmi per la testa..

Su wikipedia ho finalmente trovato un enunciato "più matematico" in cui si afferma che la condizione necessaria affinchè sia possibile applicare il teorema di Parseval (che è un caso particolare del teorema di Plancherel) è che :

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |s(t)|^2 dt < \infty \)

Da qui esce fuori il motivo per cui non è possibile applicare tale teorema a segnali periodici, infatti facendo un semplice esempio di funzione periodica abbiamo :

\(\displaystyle E_X = \int_{-\infty}^{+\infty} [cos(2\pi\;t)]^2 dt = +\infty \)

mentre applicando il teorema di Parseval a tale segnale si ha :

\(\displaystyle E_X = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\frac{1}{2} \delta(f-1) + \frac{1}{2} \delta(f+1) \right]^2 df \)

\(\displaystyle = \frac{1}{4} \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(f-1)^2 df + 2\; \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(f-1)\cdot \delta(f+1) df + \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(f+1)^2 df \right) = \frac{1}{2} < \infty \)

cioè si ottengono due valori diversi e pertanto l'uguaglianza non è verificata. Adesso veniamo al dunque :

Finchè il segnale è palesemente periodico posso preventivamente affermare che esso avrà energia infinita e pertanto è un segnale di potenza, inoltre non è possibile applicare Parseval per un calcolo esplicito. Ma quando la natura del segnale è difficile da identificare (come nel caso della \(\displaystyle z(t) \) dell'esercizio in questione)? Andare a fare una verifica usando entrambe le relazioni come fatto poco fa è impossibile (ancora una volta i calcoli nel dominio del tempo non sono immediati), l'unica strada è quella di usare Parseval ad occhi chiusi e sperare..